作业帮已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+1)为奇函数,f(0)=0,当x∈(0,1]时,f(x)=log2x,则在(8,10)内满足方程f(x)+1=f(1)的实数x为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 12:30:58
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+1)为奇函数,f(0)=0,当x∈(0,1]时,f(x)=log2x,则在(8,10)内满足方程f(x)+1=f(1)的实数x为?
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+1)为奇函数,f(0)=0,当x∈(0,1]时,f(x)=log2x,则在(8,10)
内满足方程f(x)+1=f(1)的实数x为?
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+1)为奇函数,f(0)=0,当x∈(0,1]时,f(x)=log2x,则在(8,10)内满足方程f(x)+1=f(1)的实数x为?
f（x+1）为奇函数,即f（x+1）=-f（-x+1）,
即f（x）=-f（2-x）,当x∈（1,2）时2-x∈（0,1）
f（x）=-f（2-x）=-log2.（2-x）
f（x）为偶函数,即f（x）=f（-x）
于是f（-x）=-f（-x+2）,即f（x）=-f（x+2）=f（x+4）
f（x）是以4为周期的函数
f（1）=0
当8＜x≤9时时0＜x-8≤1
f（x）=f（x-8）=log2.（x-8）,
log2.（x-8）+1=0,得x=17/2
当9＜x＜10时1＜x-8＜2
f（x）=f（x-8）=-log2[2-（x-8）]=-log2.（10-x）
-log2.（10-x）+1=0,得10-x=2,x=8＜9【舍】
综上x=17/2
【可能你还是看不懂,这题有点繁琐】
本题可读性差，分以下几点处理：
1）f(1)=log2(1)=0
2) 因为f(x+1)是奇函数，所以
f(-x+1)= - f(x+1),这是图象关于（1，0）点对称的抽象条件；
3）由2）得：f(-x+1)= - f(x+1),而f(x)是偶函数，所以f(-x+1)=f(x-1),代入上式得：
f(x-1) = - f(x+1) , ...
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本题可读性差，分以下几点处理：
1）f(1)=log2(1)=0
2) 因为f(x+1)是奇函数，所以
f(-x+1)= - f(x+1),这是图象关于（1，0）点对称的抽象条件；
3）由2）得：f(-x+1)= - f(x+1),而f(x)是偶函数，所以f(-x+1)=f(x-1),代入上式得：
f(x-1) = - f(x+1) , 即
f(x+1)= - f(x-1), 把左右的x都换成 x+2得：
f(x+3)= - f(x+1) = - [ - f(x-1) ]=f(x-1)
f(x+4)=f(x)，所以f(x)是周期为4 的周期函数；
4）证明：f(x)在(1,2]上大于零；
当1
f(2-x)= - f(x)<0==>f(x)>0
5)当8
方程f(x)+1=f(1)可化为：
f(x)=-1,在f(x)=log2(x-8)中令f(x)=-1得：
log2(x-8)= - 1 ==>x=8+1/2=17/2
6)当9
f(x)=f(x-8)>0
所以f(x)= - 1无
综合可知；
当x∈(0,1]时，f(x)=log2x,则在(8,10) 内满足方程f(x)+1=f(1)的实数x=17/2
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