从1~10这10个自然数中,任意取出6个数,其中至少有2个是倍数关系,试说明为什么?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/03 09:27:05
从1~10这10个自然数中,任意取出6个数,其中至少有2个是倍数关系,试说明为什么?
从1~10这10个自然数中,任意取出6个数,其中至少有2个是倍数关系,试说明为什么?
从1~10这10个自然数中,任意取出6个数,其中至少有2个是倍数关系,试说明为什么?
10以内的数字可以分成
(1),(2,4,6,8,10),(3,9),(5),(7)五组
根据抽屉原则,选六个数时至少要从一组中选两个.
那么,一定会有倍数关系.
其实这一题不用6个,更好的出法是任取5个也会是必然有倍数关系.
因为第一组,即1,是绝对不能选的,所以只有四组可选.
反证法,若存在取法使6个数中没有两个是倍数关系,则:
首先,1不能有,不解释
其次,2不能有,同不解释
再次,若有3,则6、9不能有,再加上1、2,只剩下另外6个数,而那六个数中4与8是倍数关系,所以不行,3也不能有
再再次,若有4,则8不能有,加上1、2、3,剩下6个数,这6个数中5、10是倍数关系,所以4也不能有
最后,1、2、3、4都不能有,剩下6个数...
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反证法,若存在取法使6个数中没有两个是倍数关系,则:
首先,1不能有,不解释
其次,2不能有,同不解释
再次,若有3,则6、9不能有,再加上1、2,只剩下另外6个数,而那六个数中4与8是倍数关系,所以不行,3也不能有
再再次,若有4,则8不能有,加上1、2、3,剩下6个数,这6个数中5、10是倍数关系,所以4也不能有
最后,1、2、3、4都不能有,剩下6个数5、10是倍数,所以不行
综上所述,原命题正确
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应考虑按照同一抽屉中,任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉。把这10个数字按奇数及其倍数分成以下5组:{1,2,4,8},{3,6},{5,10},{7},{9}看成5个抽屉。根据抽屉原理,从这5个数组的10个数中任取6个数,至少有两个数取自同一个抽屉。由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系,所以这两个数中,其中一个数一定是另一个数的倍数。...
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应考虑按照同一抽屉中,任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉。把这10个数字按奇数及其倍数分成以下5组:{1,2,4,8},{3,6},{5,10},{7},{9}看成5个抽屉。根据抽屉原理,从这5个数组的10个数中任取6个数,至少有两个数取自同一个抽屉。由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系,所以这两个数中,其中一个数一定是另一个数的倍数。
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