作业帮在ABC中,ABC的对边分别为abc,满足tanB=cos（C-B）/（sinA+sin（C-B）） 判断三角形ABC形状并证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 09:59:25
在ABC中,ABC的对边分别为abc,满足tanB=cos（C-B）/（sinA+sin（C-B）） 判断三角形ABC形状并证明
在ABC中,ABC的对边分别为abc,满足tanB=cos（C-B）/（sinA+sin（C-B）） 判断三角形ABC形状并证明
在ABC中,ABC的对边分别为abc,满足tanB=cos（C-B）/（sinA+sin（C-B）） 判断三角形ABC形状并证明
交叉相乘得sinBsinA+sinBsin(C-B)=cosBcos(C-B)
拆开得sinBsinA+sinCsinBcosB-cosC(sinB)^2=(cosB)^2*cosC+sinCsinBcosB
两边合并同类项cosC((sinB)^2+(cosB)^2)=sinAsinB
即cosC=sinAsinB
又因为cosC=-cos(A+B) sinAsinB=-cos(A+B)
拆开得cosAcosB=0
因此在三角形中A=90或者B=90 即三角形ABC是直角三角形
方法二：
tanB=cos(C－B)/〔sinA+sin(C－B)〕＝cos(C－B)/〔sin（B+C)+sin(C－B)〕
tanB=(cosBcosC+sinBsinC)/(2sinCcosB)
2sinBsinC=cosBcosC+sinBsinC
cosBcosC-sinBsinC=0
cos(B+C)=0
cosA=0
A=90度
即△ABC是直角三角形
∵A+B+C=180º
∴A=180º-(B+C).
∴sinA=sin[180º-(B+C)]=sin(B+C)
即sinA=sin(B+C)
∴应用"和差化积公式"可得:
sinA+sin(C-B)
=sin(C+B)+sin(C-B)
=2sinCcosB.
即条件等式中的分母可化为2sinCcos...
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∵A+B+C=180º
∴A=180º-(B+C).
∴sinA=sin[180º-(B+C)]=sin(B+C)
即sinA=sin(B+C)
∴应用"和差化积公式"可得:
sinA+sin(C-B)
=sin(C+B)+sin(C-B)
=2sinCcosB.
即条件等式中的分母可化为2sinCcosB
接着,把条件等式变形,可化为
2sinCcosBtanB=cos(C-B)
由sinB=cosBtanB可得:
2sinBsinC=cos(C-B)
=cosCcosB+sinCsinB
∴cosCcosB-sinCsinB=0
∴cos(C+B)=0.
∵0＜C+B＜180º
∴此时C+B=90º
即⊿ABC为Rt⊿/
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