如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交与点F(1)求证:FD²=FB·FC(2)若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?并说明理由
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 01:50:41
如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交与点F(1)求证:FD²=FB·FC(2)若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?并说明理由
如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交与点F
(1)求证:FD²=FB·FC
(2)若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?并说明理由
如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交与点F(1)求证:FD²=FB·FC(2)若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?并说明理由
考点:相似三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.
专题:综合题.
分析:(1)要求证:FD2=FB•FC,只要证明△FBD∽△FDC,从而转化为证明∠FDC=∠FBD;
(2)要证DG⊥EF,只要证明∠BDG+∠BDF=90°,转化为证明∴∠CDG=∠DCG即可.
(1)证明:
∵E是Rt△ACD斜边中点,
∴DE=EA,
∴∠A=∠ADE,
∵∠BDF=∠ADE,
∴∠BDF=∠A,
∵∠FDC=∠CDB+∠BDF=90°+∠BDF,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A,
∴∠FDC=∠FBD,
∵∠F是公共角,
∴△FBD∽△FDC.
∴FB/FD=FD/FC
∴FD2=FB•FC.
(2)GD⊥EF.
理由如下:
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线,
∴DG=GC.
∴∠CDG=∠DCG.
由(1)得∵△FBD∽△FDC,
∴∠DCG=∠BDF,
∴∠CDG=∠BDF.
∵∠CDG+∠BDG=90°,
∴∠BDG+∠BDF=90°.
∴DG⊥EF.
点评:证明线段的积相等可以转化为证明三角形相似,证明两直线垂直转化为证明形成的角是直角.