设实数x,y满足x^2+2xy+4y^2=1,则x+2y最大值

设实数x,y满足x^2+2xy+4y^2=1,则x+2y最大值
设实数x,y满足x^2+2xy+4y^2=1,则x+2y最大值

设实数x,y满足x^2+2xy+4y^2=1,则x+2y最大值
x²＋2xy＋4y²=1
(x＋y)²＋3y²=1
设：
x＋y=sinw、√3y=cosw
即：
x=sinw－(√3/3)cosw、y=(√3/3)cosw,其中,w∈[0,π]
则：
x＋2y=[sinw－(√3/3)cosw]＋(2√3/3)cosw
x＋2y=sinw＋(√3/3)cosw=(2√3/3)sin(w＋π/3),其中w∈[0,π]
得：x＋2y∈[－1,2√3/3]
x＋2y的最大值是2√3/3

设 x+2y=t ，则 x=t-2y ，
代入得 (t-2y)^2+2(t-2y)y+4y^2=1 ，
化简得 4y^2-2ty+t^2-1=0 ，
判别式=(-2t)^2-16(t^2-1)>=0 ，
解得 -2√3/3<=t<=2√3/3 ，
即 x+2y 最大值为 2√3/3 。

x+2y=t
x=t-2y
代入:x^2+2xy+4y^2=1
t^2-4yt+4y^2+2y(t-2y)+4y^2=1
8y^2-4y^2+2ty-4ty+t^2-1=0
4y^2-2ty+(t^2-1)=0
deta>=0
deta=4t^2-16(t^2-1)=-12t^2+16>=0
t^2<=4/3
得:-2根3/3<=t<=2根3/3
x+2y最大值2根3/3

我觉得一楼比较有道理，

x²+y²>=2xy, x²+4y²=x²+(2y)²>=2x*(2y)=4xy
x²+2xy+4y²>=4xy+2xy=6xy
6xy<=1, 2xy<=1/3

x²+2xy+4y²=1
x²+4xy+4y²-2xy=1
(x+2y)²=1+2xy<=1+1/3=4/3
所以 x+2y 的最大值=√（4/3）=2√3/3

x^2+2xy+4y^2=(x+y)^2+3y^2=1
则(x+y)^2≦1,3y^2≦1
-1≦x+y≦1,-√1/3≦y≦√1/3
相加得
-1-√1/3≦x+2y≦1+√1/3
则x+2y的最大值为1+√1/3