在1、2、3、4..100这100个自然数中任取两个不同的数,使得取出的两数之和是6的倍数,问有多少种不同的取法?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 06:52:09

在1、2、3、4..100这100个自然数中任取两个不同的数,使得取出的两数之和是6的倍数,问有多少种不同的取法?
在1、2、3、4..100这100个自然数中任取两个不同的数,使得取出的两数之和是6的倍数,问有多少种不同的取法?

在1、2、3、4..100这100个自然数中任取两个不同的数,使得取出的两数之和是6的倍数,问有多少种不同的取法?
①100以内,两数和最大为100+99=199.
②199以内6的倍数共有33个(6x33=198),
6x1:1+5,2+4,3+3(舍去),个数为6/2-1=3-1;
(由于“两个不同的数”,所以3+3不合题意.)
6x2:1+11,2+10,3+9,…6+6(舍去),个数为12/2-1=6-1;
同理,6x3,6x4,…6x33的个数为:9-1,12-1,…3x33-1,
总数为:3+6+9+12+…+99-33=(3+99)x33÷2-33=1650.
(等差数列,求和,(首项+末项)x项数÷2)
③但是,当和大于100时,以上算法有部分不合题意:
6x17=102,其中,1+101不题意,共1个;
6x18=108,其中,1+107,2+106,…7+101不合题意,共7个,
同理,6x19,6x20,…6x33,不合题意的有:
13,19…(6x33-100-1),(公差为6,)
不合题意的共有:1+7+13+19+…+97=(1+97)x17÷2=833.
所以,不同取法1650-833=817种.

将这100个数分成六类,被6除余1,有17个;被6除余2,有17个;被6除余3,有17个,6除余4,有17个,6除余5,有16个,6整除,有16个.被6除余1与被6除余5的两数之和能被6整除,共有17×16种不同的取法;同样被6除余2与被6除余4的两数之和能被6整除,共有17×17种不同的取法;再有被6除余3的数,它们中任意两数之和能被6整除,共有17×16÷2种不同的取法;同理被6整除的数,它们...

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将这100个数分成六类,被6除余1,有17个;被6除余2,有17个;被6除余3,有17个,6除余4,有17个,6除余5,有16个,6整除,有16个.被6除余1与被6除余5的两数之和能被6整除,共有17×16种不同的取法;同样被6除余2与被6除余4的两数之和能被6整除,共有17×17种不同的取法;再有被6除余3的数,它们中任意两数之和能被6整除,共有17×16÷2种不同的取法;同理被6整除的数,它们中任意两个数之和也能被6整除,共有16×15÷2种不同的取法.所以这100个数任取两个不同的数,使得其和是6的倍数的不同取法共有:
17×16+17×17+17×16÷2+16×15÷2=817(种)

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