求二元函数f ( x, y) = x² (2 + y²) + y ln y的极值.要过程,详细的加分

求二元函数f ( x, y) = x² (2 + y²) + y ln y的极值.要过程,详细的加分
求二元函数f ( x, y) = x² (2 + y²) + y ln y的极值.要过程,详细的加分

求二元函数f ( x, y) = x² (2 + y²) + y ln y的极值.要过程,详细的加分
df/dx=2x(2+y^2)=0,得x=0
df/dy=2yx^2+lny+1=lny+1=0,得y=1/e
A=d^2f/dx^2=2(2+y^2)=2(2+1/e^2)
B=d^2f/dxdy=4xy=0
C=d^2f/dy^2=2x^2+1/y=e
AC-B^2=2(2e+1/e)>0
所以f(0)=1/e为极小值

fx=2(2+y^2)x=0 =>x=0
fy=2(x^2)y+1+lny=0 =>y=1/e
A=fxx=4+2y^2
B=fxy=4xy
C=fyy=2x^2+1/y
B^2-AC(0,1/e)=-4e-2/e<0取极小值
f极小=f（0,1/e）=-1/e

上式表示一阶和二阶偏导