f（x）=ax²-x在【0,1】上 为减函数 求a的取值范围

f（x）=ax²-x在【0,1】上 为减函数 求a的取值范围
f（x）=ax²-x在【0,1】上 为减函数 求a的取值范围

f（x）=ax²-x在【0,1】上 为减函数 求a的取值范围
解
函数f(x)=ax²-x
求导,f'(x)=2ax-1
由题设可知,在区间[0,1]上,恒有f'(x)≤0
即当0≤x≤1时,恒有：2ax-1≤0
【1】
当x=0时,显然成立.
【2】
当0＜x≤1时,必然恒有：a≤1/(2x)
∴必须有a≤1/2.
综上可知,a∈(-∞, 1/2]

a<=0

f(x)
=a(x^2-x/a)
=a(x-1/2a)^2-1/4a
故，当a>0时，要使在[0,1]上是减函数，那么，1/2a>=1,即a<=1/2
当a<0时，要使在[0,1]上是减函数，那么，1/2a<0，即a<0
当a=0时，f(x)=-x，在[0,1]上为减函数
故，a的取值范围为：（负无穷，1/2]

分两种情况考虑：当a大于0时：I/2a<=1时单调递减=〉得 a>=1/2
当a<0时：1/2a>=0无解
综上：a>=1/2

当a大于0时1/2a大于等于1，推出a小于等于二分之一。当a小于0的时候1/2a小于等于0，a小于等于0。当a等于0时，函数为一次函数，单调递减。所以a小于等于二分之一。

a≤1/2