（2012•孝感）如图,抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,三个交点的坐标分别为A（-1,0）,B（3,0）,C（0,3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P为

（2012•孝感）如图,抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,三个交点的坐标分别为A（-1,0）,B（3,0）,C（0,3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P为
（2012•孝感）如图,抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,三个交点的坐标分别为A（-1,0）,B（3,0）,C（0,3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；
（2012•孝感）如图,抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,三个交点的坐标分别为A（-1,0）,B（3,0）,C（0,3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；

（2012•孝感）如图,抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,三个交点的坐标分别为A（-1,0）,B（3,0）,C（0,3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P为
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式,然后化为顶点式求出D点坐标；（2）本问关键是求出四边形PMAC面积的表达式,这个表达式是关于P点横坐标的二次函数,再利用二次函数求极值的方法求出面积的最大值,并求出P点坐标；
（3）四边形PQAC为平行四边形或等腰梯形时,需要结合几何图形的性质求出P点坐标：
①当四边形PQAC为平行四边形时,如答图1所示．构造全等三角形求出P点的纵坐标,再利用P点与C点关于对称轴x=1对称的特点,求出P点的横坐标；
②当四边形PQAC为平行四边形时,如答图2所示．利用等腰梯形、平行四边形、全等三角形以及线段之间的三角函数关系,求出P点坐标．注意三角函数关系部分,也可以用相似三角形解决．
（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点C（0,3）∴当x=0时,c=3．
又∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1,0）,B（3,0）
∴0=a-b+3,0=9a+3b+3,解得a=-1,b=2
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3
又∵y=-x²+2x+3,y=-（x-1）²+4
∴顶点D的坐标是（1,4）．
（2）设直线BD的解析式为y=kx+n（k≠0）
∵直线y=kx+n过点B（3,0）,D（1,4）
∴0=3k+n,4=k+n,解得k=-2,n=6
∴直线BD的解析式：y=-2x+6
∵P点在线段BD上,因此,设点P坐标为（m,-2m+6）
又∵PM⊥x轴于点M,∴PM=-2m+6,OM=m
又∵A（-1,0）,C（0,3）∴OA=1,OC=3
设四边形PMAC面积为S,则
S=1/2OA•OC+1/2（PM+OC）•OM=1/2×1×3+1/2（-2m+6+3）•m
=-m2+9/2 m+3/2=-（m-9/4）²+105/16
∵1＜9/4＜3
∴当m=9/4时,四边形PMAC面积的最大值为105/16
此时,P点坐标是（9/4,3/2）．
（3）答案：（2,3）；（11/4,15/16）．
①四边形PQAC是平行四边形,如右图①所示．
过点P作PE⊥x轴于点E,易证△AOC≌△QEP,
∴yP=PE=CO=3．
又CP∥x轴,则点C（0,3）与点P关于对称轴x=1对称,
∴xP=2．
∴P（2,3）．
②四边形PQAC是等腰梯形,如右图②所示．
设P（m,n）,P点在抛物线上,则有n=-m²+2m+3．
过P点作PE⊥x轴于点E,则PE=n．
在Rt△OAC中,OA=1,OC=3,∴AC=√10,tan∠CAO=3,cos∠CAO=√10/10；
∵PQ∥CA,∴tan∠PQE=PE/QE=tan∠CAO=3,
∴QE=1/3n,PQ=√﹙QE²+PE²﹚=√10/3 n．
过点Q作QM∥PC,交AC于点M,
则四边形PCMQ为平行四边形,△QAM为等腰三角形．再过点Q作QN⊥AC于点N．
则有：CM=PQ=√10/3 n,AN=1/2AM=1/2（AC-CM）=√10/2（1-1/3 n）,
AQ=AN/cos∠CAO=[√10/2(1-1/3 n)]/√10/10=5（1-1/3 n）．
又AQ=AO+OQ=1+（m-1/3 n）,
∴5（1-1/3 n）=1+（m-1/3 n）,化简得：n=3-3/4 m；
又P点在抛物线上,有n=-m²+2m+3,
∴-m²+2m+3=3-3/4 m,化简得：m²-11/4 m=0,解得m1=0（舍去）,m2=11/4
∴m=11/4,n=3-3/4 m=15/16,
∴P（11/4,15/16）．
点评：本题综合考查了诸多重要的知识点,包括：二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的极值、图形面积的求法、等腰梯形、平行四边形、等腰三角形、三角函数（或相似三角形）等,涉及考点众多,有一定的难度．本题难点在于第（3）问等腰梯形的情形,注意该种情形下求点的坐标的方法．