已知实数abc满足a^2+b^2=1,b^2+c^2=2,c^2+a^2=2,则ab+bc+ca的最小值为?如题

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 05:35:56

已知实数abc满足a^2+b^2=1,b^2+c^2=2,c^2+a^2=2,则ab+bc+ca的最小值为?如题
已知实数abc满足a^2+b^2=1,b^2+c^2=2,c^2+a^2=2,则ab+bc+ca的最小值为?
如题

已知实数abc满足a^2+b^2=1,b^2+c^2=2,c^2+a^2=2,则ab+bc+ca的最小值为?如题
a^2+b^2=1,b^2+c^2=2,c^2+a^2=2,
所以a^2+b^2+c^2=5/2
（a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)>=0
所以ab+bc+ca〉=-5/4
所以最小-5/4

(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+2(ab+bc+ca)=5+2(ab+bc+ca)
(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+2(ab+bc+ca)
=2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca
=(a^2+2ab+b^2)+(b^2+2bc+c^2)+(c^2+2ca+a^2)
=(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2≥0
所以5+2(ab+bc+ca)≥0
2(ab+bc+ca)≥-5
ab+bc+ca≥-5/2
所以ab+bc+ca的最小值为-5/2

-5/2

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