1的四次方+2的四次方+3的四次方+4的四次方+…n的四次方=（请化简）是复旦千分考的题目!立即求,除了已经的50分,我再给100!请你们尽量说简单点！而且不要说“我们都是知道的”，因为我只有

1的四次方+2的四次方+3的四次方+4的四次方+…n的四次方=（请化简）是复旦千分考的题目!立即求,除了已经的50分,我再给100!请你们尽量说简单点！而且不要说“我们都是知道的”，因为我只有
1的四次方+2的四次方+3的四次方+4的四次方+…n的四次方=（请化简）
是复旦千分考的题目!立即求,除了已经的50分,我再给100!
请你们尽量说简单点！而且不要说“我们都是知道的”，因为我只有初一！

1的四次方+2的四次方+3的四次方+4的四次方+…n的四次方=（请化简）是复旦千分考的题目!立即求,除了已经的50分,我再给100!请你们尽量说简单点！而且不要说“我们都是知道的”，因为我只有
大家都知道1+2+3+……+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6,
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2,现在咱们推导
1^4+2^4+3^4+……+n^4:
我们知道(n-1)^5=n^5-5n^4+10n^3-10n^2+5n-1
那么有
n^5-(n-1)^5=5n^4-10n^3+10n^2-5n+1
(n-1)^5-(n-2)^5=5(n-1)^4-10(n-1)^3+10(n-1)^2-5(n-1)+1
(n-2)^5-(n-3)^5=5(n-2)^4-10(n-2)^3+10(n-2)^2-5(n-2)+1
……
3^5-2^5=5*3^4-10*3^3+10*3^2-5*3+1
2^5-1^5=5*2^4-10*2^3+10*2^2-5*2+1
1^5-0^5=5*1^4-10*1^3+10*1^2-5*1+1
左边相加等于右边,
左边之和为n^5,
右边为5*(1^4+2^4+3^4+……+n^4)-10(1^3+2^3+3^3+……+n^3)+10(1^2+2^2+3^2+……+n^2)-5(1+2+3+……+n)+n
令1^4+2^4+3^4+……+n^4=M
得到n^5=5M-10[n(n+1)/2]^2+10n(n+1)(2n+1)/6-5n(n+1)/2+n,
上面的式子中有个M,解出
M=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30.
即1^4+2^4+3^4+……+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30.
补:
1^5+2^5+3^5+……+n^5
=n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)/12.

n (1 + n) (1 + 2 n) (-1 + 3 n + 3 n^2)/30

（n+1）^4二项式定理展开
（n+1）^4=1+4n+6n^2+4n^3+n^4
[(n-1)+1]^4=1+4(n-1)+6(n-1)^2+4(n-1)^3+(n-1)^4
……
(1+1)^4=1+4*1+6*1^2+4*1^3+1^4
累加
左面等于2的四次方加到n+1的四次方
右面等于 n+4*（1加到n）+6*（1方加到n方）+...

全部展开

（n+1）^4二项式定理展开
（n+1）^4=1+4n+6n^2+4n^3+n^4
[(n-1)+1]^4=1+4(n-1)+6(n-1)^2+4(n-1)^3+(n-1)^4
……
(1+1)^4=1+4*1+6*1^2+4*1^3+1^4
累加
左面等于2的四次方加到n+1的四次方
右面等于 n+4*（1加到n）+6*（1方加到n方）+4*（1三次方加到n三次方）+1的四次方加到n的四次方
同样方法先得到平方求和公式和三次方求和公式，代入即可

收起

1+2+3+..+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+3^2+..+n^2=n(n+1)(2*n+1)/6
1^3+2^3+3^3+..+n^3=(1+2+3+..+n)^2=(n^4+2*n^3+n^2)/4 这个不理解可以再问我
(n+1)^5-n^5=5*n^4+10*n^3+10*n^2+5*n+1
......
2^5-1^5=5*1^4+10*...

全部展开

1+2+3+..+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+3^2+..+n^2=n(n+1)(2*n+1)/6
1^3+2^3+3^3+..+n^3=(1+2+3+..+n)^2=(n^4+2*n^3+n^2)/4 这个不理解可以再问我
(n+1)^5-n^5=5*n^4+10*n^3+10*n^2+5*n+1
......
2^5-1^5=5*1^4+10*1^3+10*1^2+5*1+1,
n个式子累加,
(n+1)^5-1^5=5*(1^4+2^4+3^4+..+n^4)+10*(1^3+2^3+3^3+..+n^3)+10*(1^2+2^2+3^2+..+n^2)+5*(1+2+3+..+n)+n,
利用之前的结果化下简，
1^4+2^4+3^4+..+n^4=(6*n^5+15*n^4+10*n^3-n)/30

收起

上面的全对，等比