已知圆C的方程为x^2+y^2-2x-4y+m=0,若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点且OM⊥ON,求m的值和以MN为直径的圆的方程.(重点第二问!)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 14:15:07
已知圆C的方程为x^2+y^2-2x-4y+m=0,若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点且OM⊥ON,求m的值和以MN为直径的圆的方程.(重点第二问!)
已知圆C的方程为x^2+y^2-2x-4y+m=0,若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点且OM⊥ON,
求m的值和以MN为直径的圆的方程.(重点第二问!)
已知圆C的方程为x^2+y^2-2x-4y+m=0,若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点且OM⊥ON,求m的值和以MN为直径的圆的方程.(重点第二问!)
x^2+y^2-2x-4y+m=0和x+2y-4=0联立得5y^2-16y+m+8=0
利用韦达定理y1+y2=16/5
y1*y2=(8+m)/5
利用直线方程x1*x2=(4-2y1)*(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1*y2=4m/5-16/5
又OM⊥ON所以x1*x2+y1*y2=4m/5-16/5+(8+m)/5=m-8/5=0 所以m=8/5
2.以MN为直径的圆的圆心为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)利用前面结果算出为(4/5,8/5).
下算直径圆C的圆心(1,2)到直线L的距离d=(1-4+4)/√5=1/√5,圆C半径平方为5-m=17/5,所以所求圆的半径平方=17/5-(1/√5)^2=16/5
所以圆方程为(x-4/5)^2+(y-8/5)^2=16/5
.⒈设M(x₁,y₁)N(x₂,y₂)
∵OM⊥ON
∴x₁x₂+y₁y₂=0…………①
联立两方程式,消y,由韦达定理得
5x²-24x+48+4m=0
x₁x...
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.⒈设M(x₁,y₁)N(x₂,y₂)
∵OM⊥ON
∴x₁x₂+y₁y₂=0…………①
联立两方程式,消y,由韦达定理得
5x²-24x+48+4m=0
x₁x₂=(48+4m)/5
由纵横坐标变换
y₁y₂=﹙x₁-4﹚﹙χ₂-4﹚/4=χ₁χ₂/4-﹙χ₁+χ₂﹚+4
由韦达定理
x₁+x₂=24/5
则y₁y₂=·······
由①式得m=…………
⒉由第一问求得圆方程式,设C半径R,以MN为直径圆半径r
∵OM⊥ON
∴r=√2R
圆心坐标﹙﹙x₁+x₂﹚/2,﹙y₁+y₂﹚/2﹚
由韦达定理及圆标准方程,带入圆心及半径即可
(我不想算了,抱歉!)
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