已知函数f(x)=(x^2+ax+2)e^x,(x,a属于R)(1)当a=0时,求函数f(x)的图像在点A(1,f(1)) 处的切线方程.(2)若f(x)在R上单调,求a取值范围.(3)当a=-5/2时,求函数f(x)的极小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 12:19:45
已知函数f(x)=(x^2+ax+2)e^x,(x,a属于R)(1)当a=0时,求函数f(x)的图像在点A(1,f(1)) 处的切线方程.(2)若f(x)在R上单调,求a取值范围.(3)当a=-5/2时,求函数f(x)的极小值.
已知函数f(x)=(x^2+ax+2)e^x,(x,a属于R)
(1)当a=0时,求函数f(x)的图像在点A(1,f(1)) 处的切线方程.
(2)若f(x)在R上单调,求a取值范围.
(3)当a=-5/2时,求函数f(x)的极小值.
已知函数f(x)=(x^2+ax+2)e^x,(x,a属于R)(1)当a=0时,求函数f(x)的图像在点A(1,f(1)) 处的切线方程.(2)若f(x)在R上单调,求a取值范围.(3)当a=-5/2时,求函数f(x)的极小值.
(1) a=0,f(x) = (x²+2)*e^x
f'(x) = 2x*e^x+(x²+2)*e^x = (x²+2x+2)*e^x
因此:
f(1) = 3e;f'(1) = 5e,即切线斜率为 5e
切线方程为;
y - 3e = 5e(x-1) ==> y =5e *x -2e
(2) f'(x) = (2x+a)*e^x+(x²+ax+2)*e^x = [x²+(a+2)x+(a+2)]*e^x
f(x) 在R上单调,则恒有 f'(x)≥0 或者 恒有f'(x)≤0
∵ e^x >0,且 x²+(a+2)x+(a+2) >0 必有解
∴ 不能满足任意x,f'(x)≤0
若 x²+(a+2)x+(a+2) < 0 无解,则可满足任意x,f'(x))≥0
只要:Δ = (a+2)² - 4(a+2)≤0
解得:-2 ≤ a ≤ 2
a的取值范围是 [-2, 2]
(3) 当a=-5/2时:
f'(x) = [x²+(a+2)x+(a+2)]*e^x
= (x² -x/2 - 1/2)*e^x = 1/2*(2x+1)(x-1)e^x
令f'(x) =0, 解得 x1=-1/2,x2=1;
当 x<-1/2 时, f’(x) >0
-1/2
因此 x =1为极小值点;
极小值:f(1) = (1+a+2) e = e/2
f(1)=3e f'(1)=5e 所以方程 y-3e=5e(x-1)第二问 f'(x)=x^2+(a+2)+a+2 因为开口向上所以保证Δ<0 -2<a<2三问 零点为1 和-1/2 所以最小值x=-1/2 y=5√e/2