如图:在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N.(1)求证:MN=AM+BN.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 09:28:03
如图:在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N.(1)求证:MN=AM+BN.
如图:在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N.(1)求证:MN=AM+BN.
如图:在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N.(1)求证:MN=AM+BN.
由题知,∠ACB=∠AMN=∠BNM=90°,
故∠MCA+∠NCB=90
又∠ MAC+∠CAB+∠CBA+∠CBN=180°,
故∠MAC+∠CBN=90
因AC=CB
故△MAC≌△NCB
故MC=BN,AM=CN
MN=MC+CN=AM+BN
证明:∵∠C=90°
∴∠MCA+∠BCN=90°
∵AM⊥MN,BN⊥MN
∴∠AMC=∠CMB=90°
∴∠MAC+∠MCA=90°
又∵∠MCA+∠BCN=90°
∴∠MAC=∠BCN
又∠AMC=∠CMB,AC=BC
∴△AMC≌△CNB
∴AM=CN,MC=BN
∴MN=MC+CN=AM+BN
证明:
延长AM、BC交于D点,
三角形ACD是直角三角形
因为CM垂直于AD,
所以角DCM=角MAC
又角NCB=角DCM(对顶)
所以角MAC=角NCB
又角AMC=角CNB=90度
AC=BC
所以三角形AMC全等于三角形NCB
所以MN=MC+CN=BN+AM
由题知,∠ACB=∠AMN=∠BNM=90°,
故∠MCA+∠NCB=90
又∠ MAC+∠CAB+∠CBA+∠CBN=180°,
故∠MAC+∠CBN=90
因AC=CB
故△MAC≌△NCB
故MC=BN,AM=CN
MN=MC+CN=AM+BN