如图,在三角形ABC中,∠C=90°,AM是三角形ABC中线,MN⊥AB于N.求证:AN²=BN²+AC².
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 09:47:24
如图,在三角形ABC中,∠C=90°,AM是三角形ABC中线,MN⊥AB于N.求证:AN²=BN²+AC².
如图,在三角形ABC中,∠C=90°,AM是三角形ABC中线,MN⊥AB于N.求证:AN²=BN²+AC².
如图,在三角形ABC中,∠C=90°,AM是三角形ABC中线,MN⊥AB于N.求证:AN²=BN²+AC².
由题意可知△ANM△ACM△MNB为直角三角形,由勾股定理则有:
AN²+MN² =AM^2=AC²+CM²①
BM²=MN² +BN²②
又因为AM为△ABC的中线,所以CM=BM③
将等式③代入等式①
得AN²+MN² =AC²+BM² (BM²=MN² +BN²)
所以AN²+MN² =AC²+BN²+MN²
即AN²=BN²+AC²
1易证三角形BNM相似于三角形BCA
2所以BN/BC=BM/BA=MN/AC
3恩.....?这是初中的题吗
4求答案...
BM=CM
A N =B N +A C
=B M -M N +A M -M C
=M C -M N +A M -M C
=A M -M N
=A N
AN²=AM²-MN². BN=BM²-MN².
AM²=CM²+AC².=BM²+AC².
所以AN²=BM²+AC²-MN².=BN²+AC².
BM=CM
A N =B N +A C
=B M -M N +A M -M C
=M C -M N +A M -M C
=A M -M N
=A N
因为AM是三角形ABC中线所以 cm=bm 所以cm²=bm² bm² -cm²=o AM²—mn² = AM²—mn² +bm² -cm² 利用勾股定理 可得 AN²=AM²—mn² Ac²=Am²-MC² ...
全部展开
因为AM是三角形ABC中线所以 cm=bm 所以cm²=bm² bm² -cm²=o AM²—mn² = AM²—mn² +bm² -cm² 利用勾股定理 可得 AN²=AM²—mn² Ac²=Am²-MC² BN²=BM²-MN² 所以AM²—mn² = AM²—mn² +bm² -cm² 变形为 AN²=BN²+AC² 即得证
收起
AN的平方=AM的平方-MN的平方
=AC的平方+CM的平方-(MB的平方-BN的平方)
=AC的平方+CM的平方-MB的平方+BN的平方
=BN的平方+AC的平方