讨论函数f(x)=ax/x²-1的单调性
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/02 06:43:01
讨论函数f(x)=ax/x²-1的单调性
讨论函数f(x)=ax/x²-1的单调性
讨论函数f(x)=ax/x²-1的单调性
f(x)= ax/(x²-1)
首先,分母不为零,所以x^2-1≠0,∴定义域(-∞,-1)U(-1,1)U(1,+∞)
f(x)= ax/(x²-1) = a/(x-1/x)
∵在定义域内x单调增,1/x单调减
∴在定义域内(x-1/x)单调增
∴在定义域内1/(x-1/x)单调减
当a<0时,单调增区间:(-∞,-1)U(-1,1)U(1,+∞);
当a>0时,单调减区间:(-∞,-1)U(-1,1)U(1,+∞);
xxx
x1<x2
f(x1)-f(x2)=ax1/x12-1-ax2/x22-1=a(x1x²2-x1-x2x²1+x2)/(x²1+1)(x²2-1)=a(x2-x1)(x1x2-1)/(x²1-1)(x²2-1)
(x2-x1)>0,x1x2+1>0,(x²1-1)(x²2-1)>0
...
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x1<x2
f(x1)-f(x2)=ax1/x12-1-ax2/x22-1=a(x1x²2-x1-x2x²1+x2)/(x²1+1)(x²2-1)=a(x2-x1)(x1x2-1)/(x²1-1)(x²2-1)
(x2-x1)>0,x1x2+1>0,(x²1-1)(x²2-1)>0
(x2-x1)(x1x2+1)/(x²1-1)(x²2-1)>0
a>0时
f(x1)-f(x2)>0
为减函数
a<0
为增函数
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