如图在平行四边形ABCD中 AB=4倍根号3 AD =2倍根号3 BD垂直AD 以BD为直径的圆O 交AB于E 交CD于F 求平行四边形被圆O截得的阴影部分面积

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/17 08:29:09

如图在平行四边形ABCD中 AB=4倍根号3 AD =2倍根号3 BD垂直AD 以BD为直径的圆O 交AB于E 交CD于F 求平行四边形被圆O截得的阴影部分面积
如图在平行四边形ABCD中 AB=4倍根号3 AD =2倍根号3 BD垂直AD 以BD为直径的圆O 交AB于E 交CD于F 求平行四边形被圆O截得的阴影部分面积

如图在平行四边形ABCD中 AB=4倍根号3 AD =2倍根号3 BD垂直AD 以BD为直径的圆O 交AB于E 交CD于F 求平行四边形被圆O截得的阴影部分面积
为了方便求解,添加三条辅助线
第一条就是DE,第二条是OE,第三条是过点O做AB的垂线交AB于H,连接OH
因为图形对称,所以求出左半个阴影部分的面积,乘以二就可以了
那么这部分阴影部分的面积就是解题的关键
实际上就是把三角形ABD减去里面白色的部分
白色的部分＝扇形OED+三角形OBE
因为BD⊥AD,所以由勾股定理可得BD=根号（AB²-AD²)=6
所以圆的半径r也就是3
因为DE⊥AB,所以1/2*AD*BD=1/2*AB*DE
解得DE=3
因为OD=DE=OE=3,所以三角形ODE是等边三角形,所以角DOE=60度
所以扇形ODE的面积等于60/360*π*3²=3/2*π
因为DE⊥AB,OH⊥AB,所以OH平行于,DE
又OB=1/2BD
所以OH=1/2DE=3/2
因为DE⊥AB,所以BE=根号（BD²-DE²）=3根号3
所以三角形OBE的面积等于1/2*BE*OH=9/4*根号3
三角形ADB的面积等于1/2*AD*BD=6根号3
所以阴影部分ADE等于三角形ADB减去扇形ODE减去三角形OBE,等于6根号3-3/2*π-9/4*根号3
所以阴影部分面积等于两倍的ADE,等于15/2*根号3-3π

显然角A为60度，平行四边形面积S=2×三角形ABD面积=2×1/2×AB×AD×sin角A=12倍根号3
BD=2R=6，R=3，R为圆的半径
角DOE=2×角DBE=60度
扇形DOE的面积S1=角DOE×R×R/2=3派/2
三角形BOE面积S2=sin角BOE×R×R/2=9倍根号3/4
则阴影部分面积为
S0=S-2×（S1+S2）=15倍...

全部展开

收起

连接O,E,分成扇形ODE和三角形OBE即可。

全部展开

AD=2√3 AB=4√3 所以直角三角形ADB中角A=60° 角B=30° BD=6 即圆O的半径为R=3
连接OE 易得角DOE=60度所以扇形DOE面积为圆的1/6 扇形DOE面积为 1/6 * π*9 = 3/2π
三角形BED中 DE=3 BE=3√3 所以三角形OEB的面积为三角形DEB的面积一半=1/2*1/2*3*3√3 =9/4√3
阴影AED的面积= 三角形AED面积-扇形OED面积-三角形OEB面积=1/2*2√3*6-3/2π-9/4√3
=15/4√3-3/2π
总阴影面积为 2*(15/4√3-3/2π) = 15/2√3 - 3π

收起

圆嘛，所以很容易有DE垂直AB，容易算出BD等于6，以及DE等于3；所以角ABD=30度，这样就可以算出DE弧对应的面积为1.5pi-2.25倍根号3，再加上三角形BDE的面积4.5倍根号三，所以就能得到阴影部分的面积为2*[6*3^0.5-(1.5pi-2.25*3^0.5+4.5*3^0.5)]=7.5倍根号3-3pi
公式不好表达，希望你能看懂，其实不难的。^_^...

全部展开

收起

计算得BD = 6，即圆的半径为3
三角形ADB和DEB相似
AD DE 2√3 DE
---- = ---- ---- = ---- DE = 6
AB DB 4√3 6
则三角形 DEO全等，角DOE为60°
剩下的就随便求了