已知:数列{an},a1=2,an+1=an+1/an,证明:n≥2时,an>(2n+2)^0.5不用归纳法,要用放缩法证

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 15:46:29

已知:数列{an},a1=2,an+1=an+1/an,证明:n≥2时,an>(2n+2)^0.5不用归纳法,要用放缩法证
已知:数列{an},a1=2,an+1=an+1/an,证明:n≥2时,an>(2n+2)^0.5
不用归纳法,要用放缩法证

已知:数列{an},a1=2,an+1=an+1/an,证明:n≥2时,an>(2n+2)^0.5不用归纳法,要用放缩法证
1)可以采用放缩和递推法同时进行,
an+1=an+1/an
将上式两边平方:
(an+1)^2=an^2+1/an^2+2 > an^2+2
因此可以此次类推:
a2^2-a1^2>2
a3^2-a2^2>2
a4^2-a5^2>2
.
.
(an)^2-(an-1)^2>2
将上式连续左右连续相加:
所以an^2-a1^2>2(n-1)
an^2>4+2n-2=2n+2
所以n>=2时,an>根号下(2n+2)
得证~
祝你新年快乐,全家幸福~