已知函数f(x)=2的x次方,且f(x)=g(x)+h(x)其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式g(2x)-ah(x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 04:45:56

已知函数f(x)=2的x次方,且f(x)=g(x)+h(x)其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式g(2x)-ah(x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是?
已知函数f(x)=2的x次方,且f(x)=g(x)+h(x)其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式g(2x)-ah(x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是?

已知函数f(x)=2的x次方,且f(x)=g(x)+h(x)其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式g(2x)-ah(x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是?
g(x)+h(x)=2^x,g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)=2^(-x).
由以上两式解得:g(x)=[2^x-2^(-x)]/2、h(x)=[2^x+2^(-x)]/2.
g(2x)-ah(x)=[2^(2x)-2(-2x)]/2-a[2^x+2^(-x)]/2>=0.
即a[2^x+2^(-x)]<=[2^(2x)-2(-2x)]、a<=2^x-2^(-x).
因为2^x-2^(-x)是增函数,所以2^x-2^(-x)在区间[1,2]上的最小值是2-2^(-1)=3/2.
不等式g(2x)-ah(x)>=0对任意x∈[1,2]恒成立等价于a<=3/2.
所以实数a的取值范围是(-无穷,3/2].

a>=-17/12