为什么sinX+cosX的值域是[负根号2,根号2]?

为什么sinX+cosX的值域是[负根号2,根号2]?
为什么sinX+cosX的值域是[负根号2,根号2]?

为什么sinX+cosX的值域是[负根号2,根号2]?
令 y=sinx+cosx
则 y=√2（sinxcosπ/4+cosxsinπ/4)=√2sin(x+π/4)
因为 -1≤sin(x+π/4)≤1
所以,-√2≤y≤√2
即 -√2≤sinx+cosx≤√2

y=sinx+cosx
=√2( √2/2sinx+√2/2cosx)
=√2sin(x+π/4)
所以有sinX+cosX的值域是[负根号2,根号2]。
注：sin(π/4)=cos(π/4)=√2/2

可以化为根号2乘sin(x+45°)
这个应该明白了吧

sinX+cosX=√2(√2/2*sinx+√2/2cosx)
=√2(cosπ/4*sinx+sinπ/4*cosx)
=√2sin(x+π/4) -1<=sin(x+π/4)<=1
所以sinX+cosX的值域是[负根号2,根号2]

sinX+cosX
= √2(sinXcosπ/4+cosXsinπ/4)
= √2 sin(X+π/4)
-1≤sin(X+π/4)≤1
-√2≤ √2sin(X+π/4)≤√2

∵ sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
又，|sin(x+π/4)|≤1,即-1≤sin(x+π/4)≤1.
当sin(x+π/4)=-1时，原式=-√2；
当sin(x+π/4)=1时， 原式=√2。
∴sinx+cosx的值域时[-√2,√2].