在三角形ABC中,角ABC的对边为a.b.c.且aCosC+cCosA=2bCosB,求y=2sin^2A+cos(A-C)的取值范围,求强人,谢谢!

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/15 05:05:52

在三角形ABC中,角ABC的对边为a.b.c.且aCosC+cCosA=2bCosB,求y=2sin^2A+cos(A-C)的取值范围,求强人,谢谢!
在三角形ABC中,角ABC的对边为a.b.c.且aCosC+cCosA=2bCosB,求y=2sin^2A+cos(A-C)的取值范围,求强人,谢谢!

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(1)
2bcosB=acosC+ccosA
由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA
∴2sinBcosB=sin(A+C)
∴2sinBcosB=sinB
∴cosB=1/2
∴B=60度
(2)
2sin^2A+cos(A-C)
=1-cos2A+coa(2A-120)
=1-2sin(2A-60)sin(-60) （和差化积）
=1+2sin60sin(2A-60)
∵B=60度
∴A∈(0,120)
∴2A-60∈(-60,180)
∴sin(2A-60)∈(-sin60,1]
（将sin60的值代入）(A=75时,原式为1）
∴原式的范围是（－1／2,1＋3的开根号〕
如果没学过和差化积也可以做:
到这一步=1-cos2A+coa(2A-120) 后展开,再用三角恒等式:asinT+bcosT=√(a^2+b^2) sin(T+P),(其中a,b为常数,tanP=b/a)
即可求出范围
附三角恒等式的证明:
恒等式asinT+bcosT=√(a^2+b^2) sin(T+P),(其中a,b为常数,tanP=b/a)的证明.
令cosP=a/√(a^2+b^2),sinP=b/√(a^2+b^2)
则asinT+bcosT=√(a^2+b^2)a*[a/√(a^2+b^2)sinT+b/√(a^2+b^2)cosT]
=√(a^2+b^2)[cosPsinT+sinPcosT]
=√(a^2+b^2) sin(T+P)
此恒等式很重要~!