设当x->0时,aX²+bX+C-cosx是比X²高阶的无穷小,求常数a,b,C的值?不用泰勒展开式方法.

设当x->0时,aX²+bX+C-cosx是比X²高阶的无穷小,求常数a,b,C的值?不用泰勒展开式方法.
设当x->0时,aX²+bX+C-cosx是比X²高阶的无穷小,求常数a,b,C的值?
不用泰勒展开式方法.

设当x->0时,aX²+bX+C-cosx是比X²高阶的无穷小,求常数a,b,C的值?不用泰勒展开式方法.
列出X趋向0时lim(aX²+bX+c-cosX)/X²=0,该等式分母X²趋于0,而右边极限为0,那么等式可理解为分子除以一个无穷小量,结果为0,由于X趋于0而不等于0,所以将等式两边同时乘以X²,就把分母拿掉了,而右边为无穷小量X²×0,也为0,那么可知分子aX²+bX+c-cosX在X趋于0时也趋于0,将X=0代入,可得c-1=0,c=1.进而可知原式子的分子分母都趋于0,可以用洛必达法则对分子分母同时求导,那么就得到(2aX+b+sinX)/2X,将0代入后可得b/0,如果常数b不为0,那么b/0为无穷大,这与原式子中极限为0不符,所以b只能为0,得到0/0后,继续使用洛必达法则,得到(2a+cosX)/2,将0代入得到a+0.5,由于原式子的极限为0,那么可知a=-0.5,综上所述,a=-0.5,b=0,c=1