求函数y=(2cosx+1)/(2cosx-1)的值域

求函数y=(2cosx+1)/(2cosx-1)的值域
求函数y=(2cosx+1)/(2cosx-1)的值域

求函数y=(2cosx+1)/(2cosx-1)的值域
y=(2cosx+1)/(2cosx-1)
=1+2/（2cosx-1)
所以当2cosx=-2时取得最小值y=1+2/（2cosx-1)
=-1/2
当2cosx趋向于1时取得最大值为y=正无穷
所以y=(2cosx+1)/(2cosx-1)的值域[-1/2,正无穷）

方法1:
y=(2cosx+1)/(2cosx-1)
设cosx=t
y=(2t+1)/(2t-1)
2ty-y=2t+1
t=(1+y)/(2y-2) tE[-1,1]
t>=-1
(1+y)/(2y-2)>=-1
y>1时，1+y>=-2y+2 3y>=1 y>=1/3 即y>1...........1...

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方法1:
y=(2cosx+1)/(2cosx-1)
设cosx=t
y=(2t+1)/(2t-1)
2ty-y=2t+1
t=(1+y)/(2y-2) tE[-1,1]
t>=-1
(1+y)/(2y-2)>=-1
y>1时，1+y>=-2y+2 3y>=1 y>=1/3 即y>1...........1
y<1时,1+y<=-2y+2 y<=1/3 即y<=1/3.............2
(1+y)/(2y-2)<=1
y>1时，1+y<=2y-2 y>=3 即y>=3...............3
y<1时，1+y>=2y-2 y<=3 即y<1.................4
以上1，3的交集为：y>=3 ; 2,4的交集为y<=1/3
所以y>=3 or y<=1/3
方法2
y=(2cosx+1)/(2cosx-1)
-1<=cosx<=1
令cosx=t t不等于1/2
y=(2t+1)/(2t-1)
y'=[2(2t-1)-2(2t+1)]/(2t-1)^2=[-2-2]/(2t-1)^2<0
tE(1/2,1]及tE[-1,1/2)为减函数。
tE(1/2,1]时，t=1时，取极小值为：(2+1)/1=3
t=1/2时，趋于无穷大。
所以此时，y>=3
tE[-1,1/2)为减函数。
tE[-1,1/2)时，t=-1时，取极大值为：(-2+1)/（-2-1）=1/3
t=1/2时，趋于无穷小。此时y<=1/3
所以y>=3 or y<=1/3

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