已知方程(m-2)x²+4mx+2m-6=0有负根,求实数m的取值范围

已知方程(m-2)x²+4mx+2m-6=0有负根,求实数m的取值范围
已知方程(m-2)x²+4mx+2m-6=0有负根,求实数m的取值范围

已知方程(m-2)x²+4mx+2m-6=0有负根,求实数m的取值范围
(m-2)x²+4mx+2m-6=0,令f(x)=(m-2)x²+4mx+2m-6
当m-2=0,即m=2时,8x-2=0,没有负根,不成立,舍去；
当m-2≠0,即m≠2时,Δ=16m²-4(m-2)(2m-6)≥0,那么m≥1,或m≤-6
①m-2>0,即m>2,那么f(0)=2m-6≥0,且对称轴x=-2m/(m-2)≤0,所以m≥3；
或f(0)=2m-62
又m≥1,或m≤-6,所以m≤-6,或m>2
即实数m的取值范围为(-∞,-6]∪(2,+∞)

m=2时
-8x-2=0
x=-1/4,为负根
m≠2时
△=16m^2-4(m-2)(2m-6)=8m^2+40m-48=8(m+6)(m-1) ≥0
m≥1,或，m≤-6
x1+x2=4m/(m-2)<0
0x1x2=(2m-6)/(m-2)=2-2/(m-2)<0
2所以， 实数m的取值范围：...

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m=2时
-8x-2=0
x=-1/4,为负根
m≠2时
△=16m^2-4(m-2)(2m-6)=8m^2+40m-48=8(m+6)(m-1) ≥0
m≥1,或，m≤-6
x1+x2=4m/(m-2)<0
0x1x2=(2m-6)/(m-2)=2-2/(m-2)<0
2所以， 实数m的取值范围：1≤m<3

收起

首先判别式=16m^2-4(2m+6)>=0
4m^2-2m-6>=0
2m^2-m-3>=0
(2m-3)(m+1)>=0
m>=3/2或m<=-1.