已知f(x)=sinπx/2+cosπx/2,则f(1)+f(2)+.+f(2009）+f(2010）等于多少

已知f(x)=sinπx/2+cosπx/2,则f(1)+f(2)+.+f(2009）+f(2010）等于多少
已知f(x)=sinπx/2+cosπx/2,则f(1)+f(2)+.+f(2009）+f(2010）等于多少

已知f(x)=sinπx/2+cosπx/2,则f(1)+f(2)+.+f(2009）+f(2010）等于多少
（1）、因为有f(x)=sinπx/2+cosπx/2
所以f（1）=sinπ/2+cosπ/2=1
f（2）=sinπ+cosπ=-1
f（3）=sin3π/2+cos3π/2=-1
f（4）=sin2π+cos2π=1
因为sin2π=sin2nπ=0,cos2π=cos2nπ=1,n为正整数,
所以sin（2nπ+x）=sinx,同理cos（2nπ+x)=cosx
以此类推可知f（9）=sin(4π+π/2)+cos(4π+π/2)=sinπ/2+cosπ/2=1
f(10)=sin5π+cos5π=sinπ+cosπ=1
前十个数相加为0,可推知f(1)+f(2)+.+f(2009）+f(2010）=0
（2）、另外也可以这样推,f(1)+f(2)=0,f(3)+f(4)=0,
而且 f(2009）= sin(1004π+π/2)+cos(1004π+π/2)= sinπ/2+cosπ/2=1
f(2010）= sin(1005π)+cos(1005π)= -1
f(2009）+f(2010）=0
同理可得出f(1)+f(2)+.+f(2009）+f(2010）=0
（3）、也可以这样推f（1）+f（2010）=0
f（2）+f（2009）=0
也可以得到f(1)+f(2)+.+f(2009）+f(2010）=0