设函数fx=x^3+ax^2-a^2x+m若a=1时函数fx有三个不同的零点1)若函数f(x)在X∈[-1,1]内没有极值点,求a的取值范围;(2)若对任意的a∈[3,6],不等式f(x)≤1在X∈[-2,2]上恒成立,求m的取值范围.(3)若a=1时,函数f
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 07:45:30
设函数fx=x^3+ax^2-a^2x+m若a=1时函数fx有三个不同的零点1)若函数f(x)在X∈[-1,1]内没有极值点,求a的取值范围;(2)若对任意的a∈[3,6],不等式f(x)≤1在X∈[-2,2]上恒成立,求m的取值范围.(3)若a=1时,函数f
设函数fx=x^3+ax^2-a^2x+m若a=1时函数fx有三个不同的零点
1)若函数f(x)在X∈[-1,1]内没有极值点,求a的取值范围;(2)若对任意的a∈[3,6],不等式f(x)≤1在X∈[-2,2]上恒成立,求m的取值范围.(3)若a=1时,函数f(x)有三个互不相同的零点,求m的取值范围
设函数fx=x^3+ax^2-a^2x+m若a=1时函数fx有三个不同的零点1)若函数f(x)在X∈[-1,1]内没有极值点,求a的取值范围;(2)若对任意的a∈[3,6],不等式f(x)≤1在X∈[-2,2]上恒成立,求m的取值范围.(3)若a=1时,函数f
(1)
对f(x)求导得:
f(x)'=3x^2+2ax-a^2
解得两个极值点分别为:
x1=-a ,x2=a/3
当a=0 时:
x1=x2=0,
故此时f(x)在R上都不存在极值点,满足条件.
当a≠0时:
考虑到 x1=-a和x2=a/3 这两个极值点一定异号,必定两极值点一正一负,而题意要求在[-1,1]之间无极值点,因此:
当a>0 时,要满足题意,则:
x1=-a1
解得:
(3,+∞)
当a1 且 x2=a/30恒成立的,故增区间为:(-∞,-a]U[a/3,+∞);减区间为:[-a,a/3].由(1)可得到两个极值点的变化情况:
极大值f(-a)的横坐标在[-6,-3]之间变化,在x=-a处取得极大值.而该变化区间小于-2,因此,极大值不在区间[-2,2]内,可得在x~[-2,a/3]中的最大值是f(-2).
极小值f(a/3)的横坐标在[1,2]间变化,由于减区间为x~[-a,a/3],故在区间[a/3,2]中的最大值为f(2).
要使不等式成立,则只需要x~[-2,2]这个区间上的最大值小于等于1就行了,所以有:
f(-2)=-8+4a+2a^2+m≤1 且 f(2)=8+4a-2a^2+m≤1
两式相加得:
m≤1-4a
因为a~[3,6],故m要小于等于(1-4a)的最小值,因此:
m≤(1-4a)min= -23
故m范围为:{m| m≤-23}
(3)
a=1 时:
f(x)=x^3+x^2-x+m
两个极值点分别为:
x1=-1 ,x2=1/3
根据前面两个问题的分析,可知:
f(x)极大=f(-1)=m+1
f(x)极小=f(1/3)=m-5/27
要使有三个不同的零点,则由图像增减的性质,则有:
f(x)极大=f(-1)=m+1>0
f(x)极小=f(1/3)=m-5/27
(1)首先求导y'=3x^2+2ax-a^2
要想让函数在[-1,1]上无极值点,只需让导函数在[-1,1]上没有根就可以了
分类讨论
(情况一):当判别式小于等于0,导函数无根
判别式=16a^2小于等于0
解得a=0
(情况二):当判别式大于...
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(1)首先求导y'=3x^2+2ax-a^2
要想让函数在[-1,1]上无极值点,只需让导函数在[-1,1]上没有根就可以了
分类讨论
(情况一):当判别式小于等于0,导函数无根
判别式=16a^2小于等于0
解得a=0
(情况二):当判别式大于0时,a不等于0
两根分别为-a,a/3
继续分类讨论
(情况一:)当a大于0时,a/3大于-a
所以要想无根,需要
-a大于等于1,或a/3小于等于-1,或-1小于等于-a小于a/3小于等于1
解得a小于等于-1,a小于等于-3,a小于等于1
所以综上,0小于a小于等于1 (因为三者是“或”的关系,注意)
(情况二)当a小于0时,a/3小于-a
所以要想无根,需要
a/3大于等于1,或-a小于等于-1,或-1小于等于a/3小于-a小于等于1
解得a大于等于3,a大于等于1,无解
所以综上,a大于等于3
总体综上,a的范围[0,1]并[3,正无穷)
(2)
分类讨论
(情况一)判别式小于等于0,即a=0时,原函数在R上递增。
(情况二)当a大于0时,原函数在(负无穷,-a),(a/3,正无穷)上递增,在[-a,a/3]上递减
(情况三)当a小于0时,原函数在(负无穷,a/3),(-a正无穷)上递增,在[a/3,-a]上递减
(3)设g(x)=f(x)-1
将f(x)向下平移1
第二问又已经做了铺垫
(情况一)当a=0时,函数最大值就是f(6)=216+m
所以g(2)=215+m
所以215+m小于0,m小于-215
同时还得让[3,6]的值域在[-2,2]内
则需要g(3)大于等于-2,g(6)小于等于2
解得m无解
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