如图,三角形ABC中,∠BAC=90°,AD垂直于BC于D,∠ABC的平分线交AD于E,交AC于F,EG平行于BC交AC于G,求证:AG=FC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/14 17:27:41
如图,三角形ABC中,∠BAC=90°,AD垂直于BC于D,∠ABC的平分线交AD于E,交AC于F,EG平行于BC交AC于G,求证:AG=FC
如图,三角形ABC中,∠BAC=90°,AD垂直于BC于D,∠ABC的平分线交AD于E,交AC于F,EG平行于BC交AC于G,求证:AG=FC
如图,三角形ABC中,∠BAC=90°,AD垂直于BC于D,∠ABC的平分线交AD于E,交AC于F,EG平行于BC交AC于G,求证:AG=FC
(1)
由∠BAC=90°,AD垂直于BC于D,∠ABC的平分线交AD于E,可得
∠BED=∠AFE
∵∠BED=∠AEF
∴∠AFE=∠AEF
∴AE=AF
(2)
过F作FH垂直BC于H,则有
△ABF≌△HBF
∴AF=FH
(3)
由FH垂直BC于H,AD垂直BC于D,EG平行于BC交AC于G,有
∠AEG=90°=∠FHC
∠AGE=∠FCH
AE=FH
∴△AEG≌△FHC
∴AG=FC
证明:过E点作EK⊥AB于K 过G点作GH⊥BC于H ∵BF是∠ABC的角平分线 ∴EK=ED ∠ABF=∠FBC ∵EG∥BC ED⊥BC GH⊥BC ∴EDHG为矩形 ∴ED=GH GH=EK ∵∠KAE=90°-∠ABC ∠C=90°-∠ABC ∴∠KAE=∠C ∴Rt△AKE≌Rt△GHC ∴AE=GC ∵∠AFE=90°-ABF ∠AEF=∠BED=90°-∠FBC ∴∠AEF=∠AFE ∴AE=AF AF=GC ∴AF+FG=AG GC+FG=FC ∴AG=FC