四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=√2a,(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:直线PB与AC垂直;(3)求二面角A-PB-D的大小;(4)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径;(
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/03 16:33:21
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=√2a,(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:直线PB与AC垂直;(3)求二面角A-PB-D的大小;(4)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径;(
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=√2a,
(1)求证:PD⊥平面ABCD;
(2)求证:直线PB与AC垂直;
(3)求二面角A-PB-D的大小;
(4)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径;
(5)求四棱锥外接球的半径.
这道题没图的.
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=√2a,(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:直线PB与AC垂直;(3)求二面角A-PB-D的大小;(4)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径;(
(1)证明:
由题意
PD^2+AD^2=PA^2
所以三角形PAD是直角三角形,且∠PDA是直角
即PD⊥PA
同理,PD⊥DC
又AD∩DC=C
所以PD⊥平面ABCD
(2)证明:
连结BD交AC于O
连结MO
因为M、O分别是PC、DB的中点,
所以MO‖PB
又MO在平面AMC内
所以PB‖平面AMC
因为MO‖PB
所以∠DOA是异面直线AC与PB所成的角
由(1)可知,△PAD≌△PCD
所以AM=CM
又O是AC的中点,
所以DO⊥AC
所以∠DOA=90°
即PB⊥AC
所以异面直线AC与PB所成的角为90°
在三角形PAD中,PD=a PA==√2a AD=a 则cosPAD=cosAPD=a/√2a=√2/2 所以两角为45°
所以角PDA=180°-45°-45°=90°
同理在三角形PCD中也有角PDC=90°
因为同一平面ABCD中同时有两条相交直线CD和AD垂直于PD,
所以PD⊥平面ABCD
算了,后面不做了。
证明:(1)由PD=a,PA=PC=√2a,且底面边长为a,可知
(2)连结AC,BD,交于E点,由正方形得AC垂直于BD,又由(1)AC垂直于PD,故AC垂直于平面PDB,从而PB垂直于AC
(3)由(2)A点在平面PBD上的投影为E点,故COS二面角=三角形PEB的面积除以三角形PAB的面积=1/...
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证明:(1)由PD=a,PA=PC=√2a,且底面边长为a,可知
(2)连结AC,BD,交于E点,由正方形得AC垂直于BD,又由(1)AC垂直于PD,故AC垂直于平面PDB,从而PB垂直于AC
(3)由(2)A点在平面PBD上的投影为E点,故COS二面角=三角形PEB的面积除以三角形PAB的面积=1/2*BE*PD/(1/2*PA*AB)=1/2,从而二面角为60度
(4)(5)可用坐标系做好懂,但难算,不算了,应该还有其它方法
收起
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