已知二次函数f(x)=ax^2+x.已知二次函数f(x)=ax^2+x（a属于R,a≠0）（1）对任意x1,x2∈R,比较1/2*[f(x1)+f(x2)] 与f[(x1+x2)/2]的大小 （2）若x属于【0,1】,有绝对值f(x)≤1,求a 的取值范围

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 11:35:03

已知二次函数f(x)=ax^2+x.已知二次函数f(x)=ax^2+x（a属于R,a≠0）（1）对任意x1,x2∈R,比较1/2*[f(x1)+f(x2)] 与f[(x1+x2)/2]的大小 （2）若x属于【0,1】,有绝对值f(x)≤1,求a 的取值范围
已知二次函数f(x)=ax^2+x.
已知二次函数f(x)=ax^2+x（a属于R,a≠0）
（1）对任意x1,x2∈R,比较1/2*[f(x1)+f(x2)] 与f[(x1+x2)/2]的大小
（2）若x属于【0,1】,有绝对值f(x)≤1,求a 的取值范围

已知二次函数f(x)=ax^2+x.已知二次函数f(x)=ax^2+x（a属于R,a≠0）（1）对任意x1,x2∈R,比较1/2*[f(x1)+f(x2)] 与f[(x1+x2)/2]的大小 （2）若x属于【0,1】,有绝对值f(x)≤1,求a 的取值范围
(1)∵[f(x1)+f(x2)]/2 - f[(x1+x2)/2]
=[( ax1²+x1)+( ax2²+x2)]/2 - {a[(x1+x2)/2]²+ (x1+x2)/2}
=(ax1²+ ax2²)/2 - a(x1+x2)²/4
=(a/4)*[(2x1²+ 2x2²) - (x1+x2)²]
=(a/4)*(x1²+ x2²-2x1x2)
=(a/4)*(x1-x2)²
∴可见：
若a＞0,则上式≥0,也即[f(x1)+f(x2)]/2 - f[(x1+x2)/2]≥0,所以f(x1)+f(x2)]/2≥f[(x1+x2)/2]
若a＜0,则上式≤0,也即[f(x1)+f(x2)]/2 - f[(x1+x2)/2] ≤0,所以f(x1)+f(x2)]/2≤f[(x1+x2)/2]
2、依题意|f(x)|≤1,-1≤f(x)≤1
若a＞0,则f(x)表示开口向上的二次函数,其对称轴x= -1/(2a)＜0,
函数在[0,1]上是增函数,所以f(0)≤f(x)≤f(1),即0≤f(x)≤a+1,依题意得a+1≤1,解出a

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