用数学归纳法证明:1+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)1用数学归纳法证明:1+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)1

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 05:33:38

用数学归纳法证明:1+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)1用数学归纳法证明:1+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)1
用数学归纳法证明:1+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)1
用数学归纳法证明:
1+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)1

用数学归纳法证明:1+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)1用数学归纳法证明:1+(1/2^2)+(1/3^2)+...+(1/n^2)1
借楼上的答案修改一下
1+(1/2^2)+(1/3^2)+……+(1/k^2)+[1/(k+1)^2]0,即征

1，当n=2时
a2=1+1/4=5/4
b2=2-1/2=3/2=6/4
所以a2＜b2成立；
2，当n＞2时
an=1+1/2²+1/3²+。。。+1/n²
a（n+1）=1+1/2²+1/3²+。。。+1/（n+1）²
a（n+1）-an=1/（n+1）²
b...

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1，当n=2时
a2=1+1/4=5/4
b2=2-1/2=3/2=6/4
所以a2＜b2成立；
2，当n＞2时
an=1+1/2²+1/3²+。。。+1/n²
a（n+1）=1+1/2²+1/3²+。。。+1/（n+1）²
a（n+1）-an=1/（n+1）²
bn=2-1/n
b（n+1）=2-1/（n+1）
b（n+1）-bn=1/n-1/（n+1）=1/[n（n+1）]＞a（n+1）-an=1/（n+1）²
即a（n+1）-an＜b（n+1）-bn
又a2＜b2，所以a3=a2+（a3-a2）＜b2+（a3-a2）＜b2+（b3-b2）=b3，同理可推，an＜bn

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（1）当n=2时，左式=1+1/4=5/4，右式=2-1/2=3/2=6/4
∴此时命题成立
（2）假设当n=k(k≥2）时，命题成立即
1+(1/2^2)+(1/3^2)+……+(1/k^2)<2-(1/k)
当n=k+1时，
1+(1/2^2)+(1/3^2)+……+(1/k^2)+[1/(k+1)^2]<2-(1/k)+[1/(k+1)^2]
...

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（1）当n=2时，左式=1+1/4=5/4，右式=2-1/2=3/2=6/4
∴此时命题成立
（2）假设当n=k(k≥2）时，命题成立即
1+(1/2^2)+(1/3^2)+……+(1/k^2)<2-(1/k)
当n=k+1时，
1+(1/2^2)+(1/3^2)+……+(1/k^2)+[1/(k+1)^2]<2-(1/k)+[1/(k+1)^2]
=2-(k+2)/[k(k+2)]+[1/(k+1)^2]<2-(k+2)/(k+1)^2+[1/(k+1)^2]
=2-(k+1)/(k+1)^2=2-1/(k+1)
此时命题成立，由数学归纳法知原命题成立。
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