在平面直角坐标系中,O是坐标系的原点,四边形AOBC是梯形,点A(0,4),B(6,0).AC//OB,AC=3,连接BC.现有两个动点D、E分别从原点O和点B同时出发,其中点D以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点E以每秒5
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 23:02:08
在平面直角坐标系中,O是坐标系的原点,四边形AOBC是梯形,点A(0,4),B(6,0).AC//OB,AC=3,连接BC.现有两个动点D、E分别从原点O和点B同时出发,其中点D以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点E以每秒5
在平面直角坐标系中,O是坐标系的原点,四边形AOBC是梯形,点A(0,4),B(6,0).AC//OB,AC=3,连接BC.现有两个动点D、E分别从原点O和点B同时出发,其中点D以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点E以每秒5个单位的速度沿BC向终点C移动.过点D作DF//CB交OB于点F,连接DE、EF.设动点D、E的运动时间为t秒,当点D到达点A时,所有的运动都停止.
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在平面直角坐标系中,O是坐标系的原点,四边形AOBC是梯形,点A(0,4),B(6,0).AC//OB,AC=3,连接BC.现有两个动点D、E分别从原点O和点B同时出发,其中点D以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点E以每秒5
(1) 5 ,4.
(2)由题意得C(1,2),B(5,O),
设所求抛物线解析式为y=ax(x-5),
a=-1 2
y=-1 2 x2+5 2 x.
(3)直线AC:y=2.
直线AC与抛物线交于点C,D.
解得x1=1,x2=4.
∴CD=3.延长QM交x轴于点N.
①若MP⊥OB,则四边形AOPQ是矩形,
∴AQ=OP,
∴4-t=t,且t=2.
②若PM⊥BM,则MN2=PN•BN.
∵MN 2 =1+t 4
∴MN=t+1 2
PN=5-(1+t)-t=4-2t,BN=1+t,
∴(t+1 2 )2=(4-2t)(1+t),
∴t1=-1(舍去),t2=5 3 .
综上所得,当t=2(秒),或t=5 3 (秒)时,△PMB是直角三角形.
或者:(1)如图1,过点B作BN⊥OC,垂足为N
∵(OA-8)2+ 10-OC =0,OB=OC,
∴OA=8,OC=10(1分)
∴OB=OC=10,BN=OA=8,
∴ON= OB2-BN2 =6.
∴B(6,8)(2分)
(2)如图1,∵∠BON=∠POH,∠ONB=∠OHP=90°.
∴△BON∽△POH,
∴BO PO =ON OH =BN PH
∵PC=5t.∴OP=10-5t.
∵BO=10,PO=10-5t,ON=6,
∴10 10-5t =6 OH ,
∴OH=6-3t,
同理可得,PH=8-4t.
∴BH=OB-OH=10-(6-3t)=3t+4,
∴S=1 2 (3t+4)(8-4t)=-6t2+4t+16(3分),
∴t的取值范围是:0≤t<2(4分)
(3)①EF⊥PM(5分)
∵MR⊥OC,PH⊥OB,
∴∠RPM+∠RMP=90°,∠HPD+∠HDP=90°
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC.
∵BC∥PM,
∴∠RPM=∠HDP,
∴∠RMP=∠HPD,即:∠EMP=∠HPM,
∴EM=EP
∵点F为PM的中点,
∴EF⊥PM(6分);
②如图2,过点B作BN′⊥OC,垂足为N′,BN′=8,CN′=4
∵BC∥PM,MR⊥OC,
∴△MRP≌△BN′C,
∴PR=CN′=4
设EM=x,则EP=x,在△PER中,∠ERP=90°,RE=MR-ME=8-x
有x2-(8-x)2=42,
∴x=5,
∴ME=5
∵△MGB∽△N′BO,
∴MG N′B =MB N′O
∵PM∥CB,AB∥OC,
∴四边形BMPC是平行四边形.
∴BM=PC=5t.
第一种情况:当点G在点E上方时(如图2)
∵EG=2,
∴MG=EM-EG=5-2=3,
∴3 8 =5t 6 ,
∴t=9 20 (7分);
第二种情况:当点G在点E下方时(如图3)MG=ME+EG=5+2=7,
∴7 8 =5t 6 ,
∴t=21 20 (8分)
∴当t=9 20 或21 20 时,EG=2
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