已知a,b,c属于R,求证 a^2-(4/3b)+lg2,b^2-2c+lg11,c^2-a+lg5中,至少有一个值大于0

已知a,b,c属于R,求证 a^2-(4/3b)+lg2,b^2-2c+lg11,c^2-a+lg5中,至少有一个值大于0
已知a,b,c属于R,求证 a^2-(4/3b)+lg2,b^2-2c+lg11,c^2-a+lg5中,至少有一个值大于0

已知a,b,c属于R,求证 a^2-(4/3b)+lg2,b^2-2c+lg11,c^2-a+lg5中,至少有一个值大于0
证明:假设没有一个值>0,即都≤0
即a^2-(4/3b)+lg2≤0
b^2-2c+lg11≤0
c^2-a+lg5≤0
三式两边分别相加:
a^2-(4/3b)+lg2+b^2-2c+lg11+c^2-a+lg5≤0
(a-1/2)^2+(b-2/3)^2+(c-1)^2+lg11+lg5+lg2-1/4-4/9-1≤0
(a-1/2)^2+(b-2/3)^2+(c-1)^2+lg11-25/36≤0
因为lg11>lg10=1,所以lg11-25/36>0
所以(a-1/2)^2+(b-2/3)^2+(c-1)^2+lg11-25/36>0
所以矛盾.
所以至少有一个值大于0.