若0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/28 05:06:36
若0
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设:a=1/2±α b=1/2±β (α<1/2,β<1/2)
√(a^2+b^2)=√[(1/2±α)^2+(1/2±β)^2]
=√[1/2+α^2+β^2±(α+β)] ---------(1)
√[(1-a)^2+(1-b)^2]=√[(1/2-+α)^2+(1/2-+β)^2] (-+表示减加)
=√[1/2+α^2+β^2-+(α+β)] ---------(2)
√[a^2+(1-b)^2]=√[(1/2±α)^2+(1/2-+β)^2]
=√[1/2+α^2+β^2±(α-β)] -----------(3)
√[(1-a)^2+b^2]=√[(1/2-+α)^2+(1/2±β)^2]
=√[1/2+α^2+β^2-+(α-β)] ---------(4)
如果1/2+α^2+β^2=n,α±β=Δ
∵a^2+b^2>0
∴1/2+α^2+β^2±(α+β)>0
即:n>Δ
计算(1)+(2)
=√ [(1)+(2)]^2
=√[(n+Δ)+(n-Δ)+2√(n+Δ)(n-Δ)]
=√[2n+2√(n^2-Δ^2)]
其中:(n^2-Δ^2)'=0有极值
(1/4+a^4+2*a^2*β^2+β^4-2aβ)'=0
4a^3+4*a*β^2+4*a^2*β+4β^3-2a-2β=0
2*a^2(α+β)+2*β^2(α+β)=α+β
a^2+β^2=1/2
当a→1/2,β→1/2时,√(n^2-Δ^2)→0,是最小值.
√[2n+2√(n^2-Δ^2)]→√2>√2
同理(3)+(4)→√2>√2
当α=β=0时,n=1/2.
(1)+(2)+(3)+(4)=√[2n+2√(n^2-Δ^2)]+√[2n+2√(n^2-Δ^2)]
=√4n+√4n
=2√2
当α≠0,β≠0时,n>1/2.
(1)+(2)+(3)+(4)>2√2
综合:
√(a^2+b^2)+√[(1-a)^2+(1-b)^2]+√[a^2+(1-b)^2]+√[(1-a)^2+b^2]≥2√2