求证：不论x、y为任何有理数,x^2+y^2-10x+8y+45的值均为正数

求证：不论x、y为任何有理数,x^2+y^2-10x+8y+45的值均为正数
求证：不论x、y为任何有理数,x^2+y^2-10x+8y+45的值均为正数

求证：不论x、y为任何有理数,x^2+y^2-10x+8y+45的值均为正数
x^2+y^2-10x+8y+45
=x²-10x+y²+8y+45
=(x-5)²-5²+(y+4)²-4²+45
=(x-5)²+(y+4)²+4
(x-5)²≥0 (y+4)²≥0
(x-5)²+(y+4)²+4≥4
所以不论x、y为任何有理数,x^2+y^2-10x+8y+45的值均为正数

x^2+y^2-10x+8y+45=x^2-10x+25+y^2+8y+16+4
=(x-5)^2+(y+4)^2+4>=4

原式=（x^2-10x+25）+（y^2+8y+16）+4
=(x-5)^2+(y+4)^2+4>0恒成立

x^2+y^2-10x+8y+45
=(x-5)^2+(y+4)^2+4
>0
是绝对成立的