数学反证已知a＋b＋c＝0.求证ab＋bc＋ca不大于零.

数学反证已知a＋b＋c＝0.求证ab＋bc＋ca不大于零.
数学反证
已知a＋b＋c＝0.求证ab＋bc＋ca不大于零.

数学反证已知a＋b＋c＝0.求证ab＋bc＋ca不大于零.
已知a＋b＋c＝0,则 a=-b-c
若ab＋bc＋ca大于零
则(-b-c)b+bc+c(-b-c)大于零
即-b²-bc+bc-bc-c²大于零
即 -b²-2bc-c²大于零
即 -（b+c）²大于零,
∵（b+c）² ＞0
∴该式不成立
∴ ab＋bc＋ca不大于零

因为，(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
所以，ab+bc+ca=0.5×[(a+b+c)²-(a²+b²+c²)]
将 a＋b＋c＝0带入式中可得
ab+bc+ca =0.5...

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因为，(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
所以，ab+bc+ca=0.5×[(a+b+c)²-(a²+b²+c²)]
将 a＋b＋c＝0带入式中可得
ab+bc+ca =0.5×[(0²-(a²+b²+c²)]
=-0.5×(a²+b²+c²)
我们知道，a²≥0，b²≥0，c²≥0
所以， ab+bc+ca ≤0

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(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
ab+bc+ca=[(a+b+c)²-(a²+b²+c²)]/2
=-(a²+b²+c²)/2≤0
当a=b=c=0,等号成立