f(x)=ax²+（2a-4）x+1(a＞0),f(x)在【-1,3】上有最大值5,求a的值.

f(x)=ax²+（2a-4）x+1(a＞0),f(x)在【-1,3】上有最大值5,求a的值.
f(x)=ax²+（2a-4）x+1(a＞0),f(x)在【-1,3】上有最大值5,求a的值.

f(x)=ax²+（2a-4）x+1(a＞0),f(x)在【-1,3】上有最大值5,求a的值.

1)若a=0
则f(x)=-4x+1
此时函数f(x)在区间内的最大值为
f(-1)=5
故a=0符合题意
2)若a≠0
则f(x)的对称轴为直线
x=(4-2a)/2a=-1+2/a
i)如果a>0,则-1+2/a>-1
当-1<-1+2/a≤1,即a≥2时
f(x)的最大值
f(3)=9a+3(2a-4)+1=5
解得：a=16/15
与a≥2矛盾,不符合题意
当1<-1+2/a≤3,即1/2≤a<2时
f(x)的最大值
f(-1)=a-(2a-4)+1=-a+5=5
得a=0,与1/2≤a<2矛盾,不符合题意.
ii)若a<0,则-1+2/a<-1
f(x)的最大值
f(-1)=-a+5=5
得：a=0
矛盾,故舍去.
综上所述,只有a=0符合题意.

f(x)=ax²+(2a-4)x+1
x=-(a-2)/a
1) -(a-2)/a<-1
(a-2)/a>1
a-2>a
-2>0 舍
2)-1≤-(a-2)/a≤1
-a≤2-a≤a
a≥1
f(x)max=f(3)=9a+3(2a-4)+1=5
a=16/15
3)1≤-(a-2)/a≤3

全部展开

f(x)=ax²+(2a-4)x+1
x=-(a-2)/a
1) -(a-2)/a<-1
(a-2)/a>1
a-2>a
-2>0 舍
2)-1≤-(a-2)/a≤1
-a≤2-a≤a
a≥1
f(x)max=f(3)=9a+3(2a-4)+1=5
a=16/15
3)1≤-(a-2)/a≤3
a≤-(a-2)≤3a
1/2≤a≤1
f(x)max=f(-1)=a+4-2a+1=5
a=0 舍
4)-(a-2)/a>3
0f(x)max=f(-1)=a+4-2a+1=5
a=0 舍
∴a=16/15

收起

因a>0
f(x)=ax²+（2a-4）x+1 为开口向上的抛物线，
所以其最大值应在X定义域的端点上
设x=-1 时有最大值 f(-1)=a-(2a-4)+1=5 解得：a=0 不合题意舍去。
设x=3时有最大值 f(3)=9a+(2a-4)*3=1=5 ...

全部展开

因a>0
f(x)=ax²+（2a-4）x+1 为开口向上的抛物线，
所以其最大值应在X定义域的端点上
设x=-1 时有最大值 f(-1)=a-(2a-4)+1=5 解得：a=0 不合题意舍去。
设x=3时有最大值 f(3)=9a+(2a-4)*3=1=5 解得：a=16/15
所以：a=16/15

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