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来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/16 08:41:17

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严格证明如下：
任给小正数ξ>0,欲使│a^(1/n)-1│<ξ,这等价于1-ξ1)若ξ>=1,只要a^(1/n)<1+ξ即可,因loga(1+ξ)<0,所以1/n>loga(1+ξ）,对n>0恒成立,若n<0则n<1/loga(1+ξ).取M=-1/loga(1+ξ)>0,当│n│>M时总有
│a^(1/n)-1│<ξ成立.
2）若ξ<1,因loga(1-ξ)>0,loga(1+ξ)<0,所以考察loga(1-ξ）与-loga(1+ξ）大小,易证loga(1-ξ）>-loga(1+ξ）,所以0<1/loga(1-ξ）<-1/loga(1+ξ）
令M=1/loga(1-ξ),则│n│>M时总有│a^(1/n)-1│<ξ成立.
综上,n→∞时 a^(1/n)→1

要证n→∞时 a^(1/n)→1,即证:lna^(1/n)→ln1,即:1/n*lna→0.
当n→∞时,显然lna/n→0(因为lna为常数,n为无穷大),证毕

设a=p/q,且0a^(1/n)=p^(1/n)/q^(1/n)
n→∞时a^(1/n)=p^(1/n)/q^(1/n)→p^0/q^0=1/1=1

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