已知方程x²-2mx+m+6=0的两实根是x1,x2,求f(m)=x1²+x2²的最小值.

已知方程x²-2mx+m+6=0的两实根是x1,x2,求f(m)=x1²+x2²的最小值.
已知方程x²-2mx+m+6=0的两实根是x1,x2,求f(m)=x1²+x2²的最小值.

已知方程x²-2mx+m+6=0的两实根是x1,x2,求f(m)=x1²+x2²的最小值.
x²-2mx+m+6=0的两实根是x1,x2,
x1x2=m＋6
x1＋x2=2m
f(m)=x1²+x2²
=（x1＋x2）²-2x1x2
=4m²-2m-12
=4（m-1/4）²-49/4
又Δ=4m²-4（m＋6）≥0
m²-m-6≥0
（m＋2）（m-3）≥0
m≥3或m≤-2
3-1/4=11/4
|-2-1/4\=9/4
所以
m=-2时取最小值=4×4＋2×2-12=8

判别式≥0，则m的取值范围为 -2≤m≤3
x1²+x2²
=（x1+x2）²- 2x1x2
=（2m）² - 2（m+6）
= 4m² - 2m - 12
= 4(m - 0.25)² - 12.25
当m=0.25的时候取最小值为 -12.25