作业帮f(x)对任意实数x都有f(x+16)=f(x)+f(8）成立,若函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,求f(2008)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 02:08:51
f(x)对任意实数x都有f(x+16)=f(x)+f(8）成立,若函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,求f(2008)
f(x)对任意实数x都有f(x+16)=f(x)+f(8）成立,若函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,求f(2008)
f(x)对任意实数x都有f(x+16)=f(x)+f(8）成立,若函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,求f(2008)
f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,
记g(x)=f(x+1)
则有g(-1+x)=g(-1-x)
即f(-1+x+1)=f(-1-x+1)
故f(x)=f(-x),f为偶函数
f(x+16)=f(x)+f(8)
令x=-8,代入上式得:f(8)=f(-8)+f(8),故f(-8)=0=f(8)
f(x+16)=f(x),周期为16
f(2008)=f(16*125+8)=f(8)=0
因为 函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称
所以 函数f(x)的图像关于直线x=0对称
即 f(x+t) = f(x-t)
因为 f(x)对任意实数x都有f(x+16) = f(x) + f(8）成立
所以 f(x+8) = f(x-8) + f(8) 成立
因为 f(x+8) = f(x-8)
所以 ...
全部展开
因为 函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称
所以 函数f(x)的图像关于直线x=0对称
即 f(x+t) = f(x-t)
因为 f(x)对任意实数x都有f(x+16) = f(x) + f(8）成立
所以 f(x+8) = f(x-8) + f(8) 成立
因为 f(x+8) = f(x-8)
所以 f(8) = 0
所以 f(x+16) = f(x)
所以 f(2008) = f(2008-k*16) = f(8) = 0
收起
f(x+1)关于x=-1对称，则f(x+1)=f(-2-x+1)=f(-1-x),∴f(x)为偶函数
令x=-8,则f(-8+16)=f(-8)+f(8),∴f(8)=2f(8),故f(8)=0.∴f(x+16)=f(x)
故f(2008)=f(125*16+8)=f(8)=0