对正数x、y满足x+y=1,则xy+1/xy的取值范围是

对正数x、y满足x+y=1,则xy+1/xy的取值范围是
对正数x、y满足x+y=1,则xy+1/xy的取值范围是

对正数x、y满足x+y=1,则xy+1/xy的取值范围是
x+y=1
(√x - √y)^2 + 2√x√y = 1
1-2√x√y = (√x -√y)^2 ≥0
√x√y ≤1/2
xy≤1/4
同时 xy > 0
则 xy ∈(0,1/4]
设 z=xy
原问题转化成求函数 z + 1/z 在定义域 (0,1/4]区间上的值域问题.
z+1/z =(√z - 1/√z)^2 + 2
如果不考虑z的定义域,那么上面这个函数在 z=1 时取得最小值.而在 z=1 最小值点的两侧,显然函数会单调递减和递增.即在 (0,1/4]区间上单调递减.
因此 z+1/z 在 (0,1/4]区间上的最小值取在 z=1/4,这时候 z+1/z =5/4.
而随着 z 趋近于0,则 1/z 趋近正无穷大,而 z 趋近于0.因此 z + 1/z 趋近正无穷大.
综上所述,xy + 1/xy 的值域范围是 [5/4,+∞）
另外 z+1/z 在区间 (0,1/4]上的单调递减也可以采用如下方式证明：
设 0

只要XY不等于0就行了 把X=1-Y带入XY不等于0 解出Y 在解出X

>=2
(法1):均值不等式
因为X>0,Y>0 所以XY>0
所以XY+1/XY>=2倍根号[XY*(1/XY)]=2
所以原式大于等于2
(法2):勾勾函数
令XY=T (因为X>0,Y>0,所以XY>0,所以T>0)
所以原式等于T+1/T
画图略,,因...

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>=2
(法1):均值不等式
因为X>0,Y>0 所以XY>0
所以XY+1/XY>=2倍根号[XY*(1/XY)]=2
所以原式大于等于2
(法2):勾勾函数
令XY=T (因为X>0,Y>0,所以XY>0,所以T>0)
所以原式等于T+1/T
画图略,,因为T>0,所以当T=1是原式最小..
即原式等于2
所以原式大于等于2

收起

大于等于5

a=xy=x(1-x)=x-x^2=-x^2+x,x=1/2时a最大，且0=xy+1/xy=a+1/a>=2,此时a=1,所以不成立，那么0=令m=a+1/a,17/4

授之以渔：因为x+y=1,所以x=1-y.
带入原式，令f(y)=xy+1/xy,
因为x=1-y.，且x>0,所以y<1,
此时就转化为函数求值域问题了！