.1.二次函数y=x^2+ax+b与两坐标轴有三个不同的交点,经过这三点的圆记为C,求证：圆C恒过定点,并求出定点坐标.2.A为单位圆上定点,B是A关于x轴的对称点,P为圆上动点,直线AP和BP分别交x轴于点M和N,

.1.二次函数y=x^2+ax+b与两坐标轴有三个不同的交点,经过这三点的圆记为C,求证：圆C恒过定点,并求出定点坐标.2.A为单位圆上定点,B是A关于x轴的对称点,P为圆上动点,直线AP和BP分别交x轴于点M和N,
.1.二次函数y=x^2+ax+b与两坐标轴有三个不同的交点,经过这三点的圆记为C,
求证：圆C恒过定点,并求出定点坐标.
2.A为单位圆上定点,B是A关于x轴的对称点,P为圆上动点,直线AP和BP分别交x轴于点M和N,求证：OM乘ON为定值.

.1.二次函数y=x^2+ax+b与两坐标轴有三个不同的交点,经过这三点的圆记为C,求证：圆C恒过定点,并求出定点坐标.2.A为单位圆上定点,B是A关于x轴的对称点,P为圆上动点,直线AP和BP分别交x轴于点M和N,
这个题可繁可简.关键在于你选择什么方法.
<1>y=x^2+ax+b 有三个交点,这就意味着 y=x^2+ax+b与x轴有两个交点.这样有2种情况
设圆C与X轴交于E(x1,0),F(x2,0)（E在F左边）,与Y轴交于K(0,b),圆与Y轴另一交点为H(可以与K重合）
1# b>0  此时,K必定在Y正半轴.由切割线定理,OE*OF = OK*OH 而OK=b,OE*OF=x1x2=b
     可知 OH=1 圆C恒过(0,1)【b不可能为0,理由自己想想】
2# b<0  此时,K也在Y正半轴,x1<0;x2>0;b<0 由相交弦定理  OE*OF = OK*OH
     同理可得H坐标为(0,1), 圆C恒过(0,1)
所以圆C恒过 (0,1)
 
<2>P应该是【单位】圆上动点把?否则此题无解.现在笔者提供两种思路
1& 简洁有力的平面几何方法.具体见图(M,N与原题颠倒了,但无伤大雅）

 
2& 解析法思路简单,但计算量较大且需要技巧
先上图

 
接上图,令x=(a+b)/2,y=(a-b)/2 ;x+y=a
kAN = (sina-sinb)/(cosa-cosb)=2sinycosx/(-2sinysinx)=-1/tanx
直线AN: x-cosa = -tanx(y-sina),所以 Xn = cosa+tanxsina
同理, KBM = 1/tany,
直线BM x-cosa=tany(y+sina)  Xm = cosa+tanysina
 
OM*ON=|xm × xn|=(cosa+tanxsina)*(cosa+tanxsina)
           =(cosa)^2+cosasina(tanx+tany)+sina*tanx*tany
           =(cosa)^2+sina[ cosa(sinxcosy+coxsiny)/(cosx*cosy)+sina*sinx*siny/cosx*cosy]
           =(cosa)^2+(sina)^2[ (cosa+sinxsiny)/(cosx*cosy)]
           =(cosa)^2+(sina)^2[(cos(x+y)+sinxsiny)/(cosx*cosy)]
           =(cosa)^2+(sina)^2
           =1 为定值
证毕