判断函数f(x)=1/x-log1+x/1-x的奇偶性,并求单调区间

判断函数f(x)=1/x-log1+x/1-x的奇偶性,并求单调区间
判断函数f(x)=1/x-log1+x/1-x的奇偶性,并求单调区间

判断函数f(x)=1/x-log1+x/1-x的奇偶性,并求单调区间
f(x)=1/x+ln[ (1+x)/(1-x) ]
显然,定义域为(-1,0)U(0,1),定义域是对称的,
且有,f(-x)=- 1/x- ln[ (1+x)/(1-x) ]=f(x);
故为偶函数.
又,f ‘(x)=- 1/x2+2/(1-x2)=(3x2-1) /[x2 (1-x2)]
因此(-√3/3,0)和(0,√3/3)时减函数,而(-1,-√3/3)和(√3/3,1)为增函数.

先求函数的定义域，(1+x)/(1-x)＞0且x≠0
所以定义域为(-1,0)U(0,1)，关于原点对称
f(-x)=-1/x-lg(1-x)/(1+x)=-1/x+lg(1+x)/(1-x)=-f(x)
所以f(x)为奇函数
至于函数的增减性可以有多种方法，
最一般想到的是定义法，就是用f(x1)-f(x2)
这里提供另外一种思路
因为f(...

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先求函数的定义域，(1+x)/(1-x)＞0且x≠0
所以定义域为(-1,0)U(0,1)，关于原点对称
f(-x)=-1/x-lg(1-x)/(1+x)=-1/x+lg(1+x)/(1-x)=-f(x)
所以f(x)为奇函数
至于函数的增减性可以有多种方法，
最一般想到的是定义法，就是用f(x1)-f(x2)
这里提供另外一种思路
因为f(x)解析式中有1/x，而y=1/x是反比例函数，在一、三象限分别为单减函数
因此想到这里也要分开讨论
还记得复合函数的增减性是怎样的吗？同增减为增，不同为减
一层一层来分析
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1
易知2/(1-x)在(-1,0)和(0,1)分别为增函数，所以2/(1-x)-1也分别为增函数
所以lg(1+x)/(1-x)=lg[2/(1-x)-1]在(-1,0)和(0,1)分别为增函数
所以g(x)=-lg(1+x)/(1-x)在(-1,0)和(0,1)分别为减函数
而h(x)=1/x在(-1,0)和(0,1)分别为减函数
所以f(x)=h(x)+g(x)在(-1,0)和(0,1)分别为减函数
注意这里的单减区间不是整个定义域，而是想反比例函数那样，两段分别为减函数

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