在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,角B=角CAE,EF:FD=4:3,求证:AF=DF;求角AED的余弦值;如果BD=10,求三角形ABC的面积
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 04:48:44
在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,角B=角CAE,EF:FD=4:3,求证:AF=DF;求角AED的余弦值;如果BD=10,求三角形ABC的面积
在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,
角B=角CAE,EF:FD=4:3,求证:AF=DF;求角AED的余弦值;如果BD=10,求三角形ABC的面积
在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,角B=角CAE,EF:FD=4:3,求证:AF=DF;求角AED的余弦值;如果BD=10,求三角形ABC的面积
(1)证明:∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
∵∠B=∠CAE
∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE
∵∠ADE=∠BAD+∠B
∴∠ADE=∠DAE
∴EA=ED
∵DE是半圆C的直径
∴∠DFE=90°
∴AF=DF
连接DM
∵DE是半圆C的直径
∴∠DME=90°
∵FE:FD=4:3
∴可设FE=4x,则FD=3x
∴DE=5x
∴AE=DE=5x,AF=FD=3x
∵AF•AD=AM•AE
∴3x(3x+3x)=AM•5x
∴AM= 18x/5
∴ME=AE-AM=5x- 18x/5= 7x/5
在Rt△DME中,cos∠AED= ME/DE=7x/5/5x=7/25
过A点作AN⊥BE于N
∵cos∠AED= 7/25
∴sin∠AED= 24/25
∴AN= 24AE/25= 24x/5
在△CAE和△ABE中
∵∠CAE=∠B,∠AEC=∠BEA
∴△CAE∽△ABE
∴ AE/BE=CE/AE
∴AE2=BE•CE
∴(5x)²=(10+5x)• 5x/2
∴x=2
∴AN= 24x/5= 48/5
∴BC=BD+DC=10+ 5/2×2=15
∴S△ABC= 1/2BC•AN= 1/2×15× 48/5=72.
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∵AD是∠BAC的平分线,∴∠CAD=∠DAB, ∵∠FDE=∠DAB+∠B,且∠B=∠CAE,∴∠EAF=∠FDE ∴△EAF≌△EDF (∠EAF=∠FDE,∠EFA=∠EFD=90°,FE=F3,) ∴AF=DF(全等三角形的对应边相等) ∵∠EAF=∠EDF (全等三角形的对应角相等) ∴AE=DE ∵△DFE是直角三角形,∴DE²=DF²+FE²=9+16=25,∴DE=5 ∴cosAED=EC:AE=2.5:5=1:2,∠AED=60°,△ADE是等边三角形