已知椭圆的中心在原点 焦点在x轴上 长轴是短轴的两倍 它与直线y=x-1相交于A、B两点 若OA⊥OB求椭圆的方程

已知椭圆的中心在原点 焦点在x轴上 长轴是短轴的两倍 它与直线y=x-1相交于A、B两点 若OA⊥OB求椭圆的方程
已知椭圆的中心在原点 焦点在x轴上 长轴是短轴的两倍 它与直线y=x-1相交于A、B两点 若OA⊥OB求椭圆的方程

已知椭圆的中心在原点 焦点在x轴上 长轴是短轴的两倍 它与直线y=x-1相交于A、B两点 若OA⊥OB求椭圆的方程
依题意a=2b,设椭圆方程是x^2/(4b^2)+y^2/b^2=1,①
把y=x-1,②
代入①,得x^2+4(x^2-2x+1)=4b^2,
整理得5x^2-8x+4-4b^2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8/5,x1x2=(4-4b^2)/5,
由②,y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1,
OA⊥OB,
0=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=(8-8b^2)/5-8/5+1,
解得b^2=5/8,
所以所求椭圆方程是x^2/(5/2)+y^2/(5/8)=1.