解析几何难题求解求椭圆x²/4+y²=1上的两点与点(0,1)构成的三角形的最大面积【特别说明那两点不是(0,1)】

解析几何难题求解求椭圆x²/4+y²=1上的两点与点(0,1)构成的三角形的最大面积【特别说明那两点不是(0,1)】
解析几何难题求解
求椭圆x²/4+y²=1上的两点与点(0,1)构成的三角形的最大面积【特别说明那两点不是(0,1)】

解析几何难题求解求椭圆x²/4+y²=1上的两点与点(0,1)构成的三角形的最大面积【特别说明那两点不是(0,1)】
设A（0,1）,使这个三角形面积最大的另外两点是B,C
不妨设B在C左边,过C做平行于AB的直线L,观察L.
直线L的性质是,这上面的点到AB的距离相等.
如果L与椭圆有异于C点的交点D,那么在椭圆CD右边弧上的点,到AB的距离大于C到AB的距离
于是与ABC面积最大矛盾.
所以L与椭圆相切.
过B点做AC的平行线也与椭圆相切,
同理过B点做AC的平行线也与椭圆相切.

设：B(x1,y1),C(x2,y2)
则过B切线：x1·x/4+y1·y=1
过C切线：x2·x/4+y2·y=1
再由平行,列出斜率方程：
(y1-1)/x1=(-x2)/4y2
(y2-1)/x2=(-x1)/4y1
结合以上两式得出y1=y2
所以x1=-x2
代回,得(y1-1)/x1=x1/4y1
即(x1)²/4=4(y1)² - 4y1
又(x1)²/4+(y1)² = 1
解得y1= -1/2（舍去1）
于是S = (3/2)·(2根号3）/2
= 二分之三倍根号三