有关向量的计算已知向量a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ),若实数k使|ka+b|=|a-kb|成立,求满足不等式 a与b的数量积≥0的k的取值范围.

有关向量的计算已知向量a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ),若实数k使|ka+b|=|a-kb|成立,求满足不等式 a与b的数量积≥0的k的取值范围.
有关向量的计算
已知向量a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ),若实数k使|ka+b|=|a-kb|成立,
求满足不等式 a与b的数量积≥0的k的取值范围.

有关向量的计算已知向量a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ),若实数k使|ka+b|=|a-kb|成立,求满足不等式 a与b的数量积≥0的k的取值范围.
解
因为ka+b=(kcosα+2cosβ,ksinα+2sinβ)
a-kb=(cosα-2kcosβ,sinα-2ksinβ)
又|ka+b|=|a-kb|
所以 （kcosα+2cosβ）^2+（ksinα+2sinβ）^2=（cosα-2kcosβ）^2+（sinα-2ksinβ）^2
整理得cos(α-β)=(3k^2-3)/8k
又a与b的数量积≥0 即cosα*2cosβ+sinα*2sinβ≥0
所以2cos(α-β)≥0
即cos(α-β)≥0
所以(3k^2-3)/8k≥0
即(k+1)(k-1)/k≥0
解得 -1≤k＜0或k≥1

ka+b|=|a-kb|
即|(kcosα,ksinα)+(2cosβ,2sinβ)|=|(cosα,sinα)-(2kcosβ,2ksinβ)|
k^2+4+4kcos(α-β)=1+4k^2-4kcos(α-β)
cos(α-β)=3(k^2-1)/(8k)
要使 a*b=2cos(α-β)>=0
只需 3(k^2-1)/4k>=0
即 k>0