已知a,b,c属于R+且a+b+c=1求证a+1/a) +(b+1/b) +(c+1/c) 大于等于100/3

已知a,b,c属于R+且a+b+c=1求证a+1/a) +(b+1/b) +(c+1/c) 大于等于100/3
已知a,b,c属于R+且a+b+c=1求证a+1/a) +(b+1/b) +(c+1/c) 大于等于100/3

已知a,b,c属于R+且a+b+c=1求证a+1/a) +(b+1/b) +(c+1/c) 大于等于100/3
已知a,b,c属于R+,按算术平均数≥几何平均数,有
1/3(a+b+c)≥3次根号下（abc）又因为a+b+c=1 即得1/27≥ abc,故1/abc≥ 27
同理,又有 1/3(1/a+1/b+1/c)≥ 3次根号下（1/abc）得1/a+1/b+1/c≥3x 3次根号下（1/abc）
将上述两式结合考虑可得 1/a+1/b+1/c≥9
所以 (a+1/a) +(b+1/b) +(c+1/c)=a+b+c+(1/a+1/b+1/c)≥ 1+9=10
上述解答已经超过10天了,为什么你还不能搞懂呢?
今天再补充一下,举两个特例说明原题有误.
1,设a= b= c= 1/3 则满足条件.这时有1/3+1/3+1/3=1
(a+1/a) +(b+1/b) +(c+1/c)=a+b+c+(1/a+1/b+1/c)=1/3+1/3+1/3+3+3+3=10
2,若a=1/2,b=1/6,c=1/3这时有1/2+1/6+1/3=1
(a+1/a) +(b+1/b) +(c+1/c)=a+b+c+(1/a+1/b+1/c)=1/2+1/6+1/3+2+6+3=12＞10
100/3是多少 超过33了.

楼上证明过程极不严谨，不能作为证明依据，只能是猜想最小值的方法。具体证明如下：
由柯西不等式
(1+1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]>=(a+1/a+b+1/b+c+1/c)^2=(1+1/a+1/b+1/c)^2
再有柯西不等式：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(1+1+1)^2=9
上式也即1/a+1...

全部展开

楼上证明过程极不严谨，不能作为证明依据，只能是猜想最小值的方法。具体证明如下：
由柯西不等式
(1+1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]>=(a+1/a+b+1/b+c+1/c)^2=(1+1/a+1/b+1/c)^2
再有柯西不等式：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(1+1+1)^2=9
上式也即1/a+1/b+1/c>=9
于是(1+1/a+1/b+1/c)^2>=(1+9)^2=100
所以(1+1+1)[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]>=100
上式即(a+a/1)^2+(b+b/1)^2+(c+c/1)^2>=100/3
得证 ，，

收起