常系数微分方程求解设φ(x)二次可微,任意闭曲线c有∮2yφ(x)dx-x^2φ'(x)dy=0,又φ(1）=2,φ‘(1）=1,求φ(x）

常系数微分方程求解设φ(x)二次可微,任意闭曲线c有∮2yφ(x)dx-x^2φ'(x)dy=0,又φ(1）=2,φ‘(1）=1,求φ(x）
常系数微分方程求解
设φ(x)二次可微,任意闭曲线c有∮2yφ(x)dx-x^2φ'(x)dy=0,又φ(1）=2,φ‘(1）=1,求φ(x）

常系数微分方程求解设φ(x)二次可微,任意闭曲线c有∮2yφ(x)dx-x^2φ'(x)dy=0,又φ(1）=2,φ‘(1）=1,求φ(x）
易得f(x)满足微分方程x^2f''(x)+2xf'(x)+2f(x)=0,f(1)=2,f'(1)=1.
令x＝e^t,t＝lnx,则f'(x)=df/dx=df/dt*dt/dx=df/dt*1/x,f(e^0)=2,
f''(x)=d(df/dx)/dx=d(df/dt*1/x)/dx=d^2f/dt^2*dt/dx*1/x+df/dt*d(1/x)/dx
=d^2f/dt^2*1/x^2－df/dt*1/x^2,代入微分方程有
d^2f/dt^2+df/dt+2f(t)=0.
特征根是【－1+根号(7)i】/2,【－1－根号(7)i】/2,因此通解为
f(t)=e^(－t/2)(C1cos[根号(7)t/2]+C2sin[根号(7)t/2]）,利用初值得
f(t)=e^(－t/2)(2cos[根号(7)t/2]+4根号(7)/7*sin[根号(7)t/2]）,再将t＝lnx代入可得f(x)的表达式.
f(x)=1/根号(x)*【2cos[根号(u)lnx/2]+4根号(7)/7*sin[根号(7)lnx/2]】.
是不是哪一步做错了?怎么这么麻烦?你自己再检查一下吧,原理就是这样的.