设函数f(x)=x+a/(x+1),x∈[0,+∞) （1）当a=2时,求函数f(x)的最小值 （2）当0＜a＜1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 03:21:51

设函数f(x)=x+a/(x+1),x∈[0,+∞) （1）当a=2时,求函数f(x)的最小值 （2）当0＜a＜1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明
设函数f(x)=x+a/(x+1),x∈[0,+∞) （1）当a=2时,求函数f(x)的最小值 （2）当0＜a＜1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明

设函数f(x)=x+a/(x+1),x∈[0,+∞) （1）当a=2时,求函数f(x)的最小值 （2）当0＜a＜1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明
1）当a=2时函数为f(x)=x+2/(x+1),设0《x10函数单调递减易知函数在x=根号2-1处取得最小值f（根号2-1）=2根号2-1
2）单调递增.当0＜a＜1时设0《x11,x2+1>1故(x1+1)(x2+1)>1所以1-a/(x1+1)(x2+1)>o即f（x1）-f（x2）<0故函数单调递增.

（1）
f(x)+1=(x+1)+a/(x+1)
因为x≥0，a＞0，所以可以利用均值不等式
(x+1)+a/(x+1)≥2×根号下[(x+1)·a/(x+1)]=2根号a=2根号2
即f(x)+1≥2根号2
f(x)≥2根号2-1
（2）
根据函数单调性的定义
在[0,+∞)中任取x1>x2
f(x1)-f(x2)=x1+a...

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（1）
f(x)+1=(x+1)+a/(x+1)
因为x≥0，a＞0，所以可以利用均值不等式
(x+1)+a/(x+1)≥2×根号下[(x+1)·a/(x+1)]=2根号a=2根号2
即f(x)+1≥2根号2
f(x)≥2根号2-1
（2）
根据函数单调性的定义
在[0,+∞)中任取x1>x2
f(x1)-f(x2)=x1+a/(x1+1)-[x2+a/(x2+1)]
=(x1-x2)[1-a/(x1+1)(x2+1)]
因为(x1+1)(x2+1)>1；0所以a/(x1+1)(x2+1)<1
1-a/(x1+1)(x2+1)>0——#
因为x1>x2
所以(x1-x2)>0——*
由#、*可得
(x1-x2)[1-a/(x1+1)(x2+1)>0
即f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
又因为x1>x2
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增

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(1)当a=2时，利用不等式性质求最小值：f(x)=x+2/(x+1)=(x+1)+2/(x+1) ≥2√2 ，当且仅当(x+1)=2/(x+1) 时取等号。 即当x=√2时，f(x)有最小值2√2。
(2)在定义域[0,+∞) 上任取两数x1和x2，且x1=(x1-x2)[1-a/(x1...

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(1)当a=2时，利用不等式性质求最小值：f(x)=x+2/(x+1)=(x+1)+2/(x+1) ≥2√2 ，当且仅当(x+1)=2/(x+1) 时取等号。 即当x=√2时，f(x)有最小值2√2。
(2)在定义域[0,+∞) 上任取两数x1和x2，且x1=(x1-x2)[1-a/(x1+1)(x2+1)]=(x1-x2)[(x1+1)(x2+1)-a]/(x1+1)(x2+1)
因为0≤x11, x2+1>1, (x1+1)(x2+1)>1>a, x1-x2<0, 即(x1-x2)[(x1+1)(x2+1)-a]/(x1+1)(x2+1)＜0，所以f(x1)

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现在不会

设函数f(x)={a/x+b/(x²-x) x>1{x x 设函数f(x)=x^2+|x-a|+1x∈R求函数f(x)的最小值 设函数f(x)=(x-a)/(x-1),集合M={x (x) 设函数f(x)=(x-a)丨x丨-2对任何x∈【-1,1】,f(x) 设函数f(x)=x+a/(x+1),x∈[0,+∞),求f(X)的最小值 设函数f(x)=ln(a+x^2) x>1 =x+b x 设函数f(x)=a/(1+x),x≥0；2x+b,x 设函数f(x)=ax^2+|x-a|+1x∈R求函数f(x)的最小值 设a∈R,函数f(x)=x²+ax+4(1)解不等式f(x)+f(-x) 设函数f(x)=|x-a|+|x|,若不等式f(x+1) 已知函数f(x)=x(1+alxl) 设关于x的不等式f(x+a) 设|a|≤1,函数f(x)=ax^2+x-a,x∈[-1,1].证明|f(x)| 设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R求f（x）最小值 设函数f(x)满足f(x)+2f(1/x)=x,求f(x) 设函数f(x)=(x+1)(x+a)/x为奇函数,则a=_____ 1.设函数f(x)=x^3+a(x²)-9x-1,(a 设函数f(x)=[(x-a)(x-a)]/x (1)证明：0 设x∈R+,求函数f(x)=x^2-x+1/x的最小值