设数列{An}的前n项和为Sn,已知A1=1,Sn+1=4An+2 求：（1）设bn=An+1-2An,证明数列{bn}是等比数列(2)求数an

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/08 19:49:12

设数列{An}的前n项和为Sn,已知A1=1,Sn+1=4An+2 求：（1）设bn=An+1-2An,证明数列{bn}是等比数列(2)求数an
设数列{An}的前n项和为Sn,已知A1=1,Sn+1=4An+2 求：（1）设bn=An+1-2An,证明数列{bn}是等比数列(2)求数
an

设数列{An}的前n项和为Sn,已知A1=1,Sn+1=4An+2 求：（1）设bn=An+1-2An,证明数列{bn}是等比数列(2)求数an
(1)
由a1＝1,及S(n＋1)＝4an＋2
得：a1＋a2＝4a1＋2,a2＝3a1＋2＝5
∴b1＝a2－2a1＝3
由S(n＋1)＝4an＋2 ①
则当n ≥ 2时,有Sn＝4a(n－1)＋2 ②
②－①得：
a(n＋1)＝4an－4a(n－1)
∴a(n＋1)－2an＝2[an－2a(n－1)]
又bn＝a(n＋1)－2an
∴bn＝2b(n－1)
∴{bn}是以b1＝3为首项、以2为公比的等比数列
(2)
由(1)可得：
bn＝a(n＋1)－2an＝3•2^(n－1)
∴[a(n＋1)]/[2^(n＋1)]－(an)/(2^n)=3/4
∴数列{(an)/(2^n)}是首项为1/2,公差为3/4的等差数列
∴(an)/(2^n)＝1/2＋(n－1)3/4＝3/4n－1/4
即an＝(3n－1)•2^(n－2) (n∈N*)

全部展开

解析：（1）由题意只要证明bn/（bn-1）为一常数即可，已知Sn+1=4an+1，推出b1的值，然后继续递推相减，得an+1-2an=2（an-2an-1），从而求出bn与bn-1的关系；由a1=1，及Sn+1=4an+1，得a1+a2=4an+1，a2=3a1+1=4，∴b1=a2-2a1=2，由Sn+1=4an+1①则当n≥2时，有Sn=4an-1+1②②-①得an+1=4an-4an-1，∴an+1-2an=2（an-2an-1）又∵bn=an+1-2an∴bn=2bn-1∴{bn}是首项b1=2，公比等于2的等比数列．（2）根据（1）{bn}是等比数列，可得bn}的通项公式，从而证得数列{an/2n }是首项为1/2 ，公差为1/2 的等差数列．由（1）可得bn=2n，∴an+1-2an=2n，∴an+1/2n+1 - an/2n = 1/2 ，∴数列{an/2n }是首项为1/2 ，公差为1/2 的等差数列，∴an/2n = 1/2 +（n-1）* 1/2 = n/2 an=n * 2^(n-1)

收起

由于sn+1=4an+2
则有：sn=4an-1+2
两式相减，得：
an+1=4（an-an-1）
可转化为：an+1-2an=2（an-2an-1）
由于bn=an+1-2an，
则有：bn═2bn-1
∴数列{bn}是公比为2的等比数列
∴bn=3×2n-1